Blizanci i istovremenost: Ako se jedan blizanac udaljava od drugog, a drugi od prvog, kako na kraju ipak jedan brže stari

Koncepcije posebne i opće teorije relativnosti daleko su od svakodnevnog iskustva, stoga i daleko od zdravog razuma. Potpuno razumijevanje relativnosti, naročito opće teorije, ipak traži netrivijalna matematička znanja. No, i bez matematike o teoriji relativnosti ima smisla govoriti. Zato što je ta teorija jedan od temeljnih stupova današnje fizike pa poznavanje njezinih polaznih postavki i nekih njezinih posljedica nije samo stvar elementarne znanstvene pismenosti nego i stvar opće kulture

• U članku su kao ilustracije korištene slike velikog nadrealističkog slikara Renea Magrittea

Krajnje banalno poimanje teorije relativnosti svodi se na tvrdnju: “sve je relativno”. Lako za prostor i vrijeme, nego su navodno relativni istina i ljubav i moralne vrijednosti. Sve je to, kažu, smislio jedan lukavi Židov, a dandanas zagovaraju razni anarhisti i rušitelji tradicija.

Možda je manje banalni, ali ne manje ignorantski, stav da je teorija relativnosti jedna apstraktna matematička teorija koja sa stvarnošću nema nikakve veze, koja “nije dokazana”, koja je uostalom potpuno apsurdna. Jer postoji, eto, paradoks blizanaca koji tobože lijepo pokazuje da je ta teorija nelogična, da sadrži proturječnosti kojima sama sebe pobija.

Konačno, benevolentnost pa čak i strahopoštovanje prema teoriji relativnosti nisu nužno popraćeni njezinim shvaćanjem. Ali, to nije za zamjeriti. Koncepcije posebne i opće teorije relativnosti daleko su od svakodnevnog iskustva, stoga i daleko od zdravog razuma. Potpuno razumijevanje  relativnosti, naročito opće teorije, ipak traži netrivijalna matematička znanja. No, i bez matematike o teoriji relativnosti ima smisla govoriti. Zato što je ta teorija jedan od temeljnih stupova današnje fizike pa poznavanje njezinih polaznih postavki i nekih njezinih posljedica nije samo stvar elementarne znanstvene pismenosti nego i stvar opće kulture.

Danas se češće govori o općoj nego o posebnoj teoriji relativnosti. Opća relativnost je, kao trenutačno najbolja teorija gravitacije, matematička podloga za fizičku kozmologiju – znanstveni opis razvoja svemira. S općom relativnošću su stoga povezane top-teme današnje fizike: tamna materija i tamna energija. Povezana su i velika znanstvena otkrića koja su u zadnje vrijeme nagrađena Nobelovim nagradama: ubrzano širenje svemira i izravna detekcija gravitacijskih valova. Opća teorija relativnosti je, dakle, vrlo aktualna. Što nikako ne znači da je posebna teorija relativnosti zastarjela i nezanimljiva. Posebna relativnost uvodi pojmovni okvir koji se u općoj relativnosti samo proširuje na opažače koji se gibaju ubrzano. Bez prethodnog razumijevanja posebne relativnosti nema razumijevanja opće relativnosti.

Brzina je vremenska promjena položaja jednog tijela u odnosu na drugo tijelo. Ako drugog tijela nema, onda nema ni smisla govoriti o brzini.

Postulati posebne teorije relativnosti

Posebna relativnost polazi od dva temeljna postulata. Prvi je načelo relativnosti koje je postavio još Galileo Galilei prije otprilike 400 godina. To, dakle, uopće nije moderna koncepcija nego ideja iz doba kad je nastajala prirodna znanost u današnjem smislu tog pojma. Riječ relativnost iz naziva postulata ne odnosi se naravno na “istinu, ljubav i moralne vrijednosti” pa čak ni na prostor i vrijeme. Odnosi se na brzinu. Prvi postulat izriče činjenicu da je brzina relativna. Brzina je vremenska promjena položaja jednog tijela u odnosu na drugo tijelo. Ako drugog tijela nema, onda nema ni smisla govoriti o brzini. To drugo tijelo, na koje se pozivamo kad određujmo brzinu, nazivamo referentnim tijelom. Na referentno tijelo obično vežemo koordinatni sustav pa onda govorimo o referentnom sustavu. A referentni sustav je ekvivalentan opažaču.

Opažače koji ne ubrzavaju, nego se jedan u odnosu na drugoga gibaju stalnom brzinom, nazivamo inercijskim opažačima. Posebna teorija relativnosti odnosi se isključivo na inercijske opažače, one koji ne ubrzavaju. Kolokvijalno i neprecizno pitanje “kako inercijski opažači vide isti događaj” u teoriji relativnosti izražava se matematički preciznim pitanjem: “koje su prostorne i vremenske koordinate iste točke u jednom ili u drugom inercijskom referentnom sustavu”. Mijenjanje perspektive svodimo na transformacije koordinata, koje u nerelativističkom slučaju (za brzine puno manje od brzine svjetlosti) nazivamo Galilejevim transformacijama. Bez takve preciznosti nema prirodne znanosti. Ukratko: prvim se postulatom tvrdi da nikakvim eksperimentom ne možemo izmjeriti apsolutnu brzinu opažača. Brzina je relativna.

U teorijskoj fizici se uvodi prirodni sustav jedinica u kojem je brzina svjetlosti jednaka točno jedan. Bezdimenzijski jedan: c = 1. U tom se sustavu vrijeme mjeri u metrima. Vrijeme od jedan metar je ono koje je svjetlosti potrebno da prođe udaljenost o jednoga metra. Na prvi pogled bizarno, ali čovjek se s vremenom navikne

Drugi temeljni postulat posebne teorije relativnosti je univerzalnost brzine svjetlosti. Svaki inercijski opažač, bez obzira na svoju relativnu brzinu u odnosu na izvor svjetlosti, opaža ISTU brzinu svjetlosti. U Međunarodnom sustavu jedinica (SI, Système international d’unités) ta brzina je točno 299 792 458 m/s. Točnost nije stvar slučajnosti nego proizlazi iz naših definicija temeljnih jedinica za duljinu i vrijeme. Zaokruženo, brzina svjetlosti je 300 000 km/s ili 3 · 10⁸ m/s. Bez obzira koristimo li točnu ili zaokruženu vrijednost, iznos brzine svjetlosti proizlazi iz definicija metra i sekunde. A definicije smo mogli i drukčije postaviti. Recimo tako da iznos brzine svjetlosti ispadne točno jedan. To je moguće i ima smisla. Štoviše, u teorijskoj fizici se upravo tako i radi: uvodi se prirodni sustav jedinica u kojem je brzina svjetlosti jednaka točno jedan. Bezdimenzijski jedan: c = 1. U tom se sustavu vrijeme mjeri u metrima. Vrijeme od jedan metar je ono vrijeme koje je svjetlosti potrebno da prođe udaljenost o jednoga metra. Na prvi pogled bizarno, ali čovjek se s vremenom navikne. No, 1 ili 3 · 10⁸ m/s, svejedno, iznos brzine svjetlosti je isti za svakog neubrzanog opažača. Konkretno, ako dva opažača mjere brzinu istog fotona koji dolazi prema njima, oba će izmjeriti istu vrijednost c, bez obzira na to kako se jedan u odnosu na drugoga giba.

Bilo da opažač miruje u odnosu na izvor svjetlosti, ili juri prema izvoru, ili juri od izvora svjetlosti, u svakom slučaju opaža da se svjetlost giba brzinom c. Vrlo neobično i krajnje neočekivano. No, priroda je naprosto takva, sviđalo se to nama ili ne.

Drugi postulat postavio je Albert Einstein. I to je onaj ključni sastojak teorije relativosti. Sva predviđanja posebne teorije relativnosti, koja su neočekivana i čudna u usporedbi sa svakodnevnim iskustvom, posljedica su drugog postulata ili univerzalnosti brzine svjetlosti. Relativnost istodobnosti, dilatacija vremena, kontrakcija duljine, energija sadržana u masi, sve su to posljedice drugog postulata. No, otkud sam drugi postulat?

Postulati u fizici su, poput aksioma u matematici, temeljne tvrdnje od kojih se polazi pri gradnji teorije. Postulati se ne mogu potvrditi u okviru teorije koja je iz njih proizašla, njih se uzima zdravo za gotovo. No, ne treba pasti u zabludu pa pomisliti da postulate fizičari usvajaju činom vjere. Postulati obično proizlaze iz empirije, našeg iskustva o svijetu. Nisu izvučeni iz šešira. No, ako eksperiment pokaže da je postulat neopravdan, onda ga fizičari neće koristiti za gradnju teorije. Odbacit će ga bez pardona. S druge strane, dogma ili religijski “postulat” niti proizlazi iz empirije niti se ikad može odbaciti.

Zanimljivo je da se Einstein, kad je 1905. godine formulirao svoj postulat, nije pozivao na empiriju nego na temeljna načela. Naime, par desetaka godina ranije James Clerk Maxwell bio je postavio sveobuhvatnu teoriju elektromagnetizma: s četiri jednadžbe opisao sve pojave iz elektriciteta, magnetizma i optike. Bio je to trijumf ideje ujedinjenja u fizici. Prekrasna teorija čija su se brojna predviđanja sjajno slagala s eksperimentalnim rezultatima. Eventualni problem s Maxwellovim jednadžbama (elektrodinamikom) bio je u tome što nisu bile uskladive s Galileijevim i Newtonovim jednadžbama (mehanikom). Osim, shvatio je Einstein, osim… ako svjetlost nije takva pojava za koju vrijedi univerzalnost brzine.

Maksimalna brzina je c. Kad bismo to pravilo mogli prekršiti posljedice bi bile strašne. Narušili bismo načelo kauzalnosti ili uzročno-posljedičnu vezu. Stigli bismo nekamo prije nego što smo krenuli (što čak ne zvuči loše) ili bismo umrli prije nego što smo se rodili (što zvuči prilično loše).

Premda se pri postavljanju svojeg postulata Einstein nije pozivao na empiriju ona je u njegovo doba već postojala. Rezultati slavnog Michelson-Morleyevog eksperimenta, izvedenog 1887. godine, govorili su upravo ono što izriče drugi postulat: brzina svjetlosti je neovisna o relativnom gibanju izvora svjetlosti i opažača. Bilo da opažač miruje u odnosu na izvor svjetlosti, ili juri prema izvoru, ili juri od izvora svjetlosti, u svakom slučaju opaža da se svjetlost giba brzinom c. Vrlo neobično i krajnje neočekivano. No, priroda je naprosto takva, sviđalo se to nama ili ne.

Zbog drugog postulata spomenute Galilejeve transformacije više ne vrijede u općenitom slučaju (vrijede samo u posebnom slučaju kad su brzine opažača male u usporedbi s brzinom svjetlosti). Zamjenjuju ih Lorentzove transformacije. Na ovom mjestu prostodušni laik još ne sluti što ga čeka (kao što Matoševa Ljerka ne sluti smisla žalosnih soneta). A čekaju ga prava čudesa.

Najprije, Galileijev zakon zbrajanja brzina ustupa svoje mjesto Einsteinovom zakonu zbrajanja brzina. A iz njega slijedi da tijela u prostoru ne mogu doseći brzinu svjetlosti. Priroda je, na neki način, postavila ograničenje brzine u svemiru. Maksimalna dopuštena brzina je c. Kad bismo to pravilo mogli prekršiti posljedice bi bile strašne. Narušili bismo načelo kauzalnosti ili uzročno-posljedičnu vezu. Recimo, stigli bismo nekamo prije nego što smo krenuli (što čak ne zvuči loše) ili bismo umrli prije nego što smo se rodili (što zvuči prilično loše). Srećom, kršiti možemo samo društvene zakone. Prirodne ne.

Opažač na željezničkoj stanici opaža da su se dvije lampe upalile istodobno. Ali opažač u vlaku se s tim ne slaže. Prema njegovom opažanju najprije se upalila jedna lampa, a malo kasnije i druga.

Iduća posljedica je relativnost istodobnosti. U Galileijevoj kinematici, koja je u skladu sa svakodnevnim iskustvom opažača čija je brzina puno manja od c, istodobnost je apsolutna. Ako su za jednog opažača događaji A i B istodobni, onda su oni istodobni i za drugog opažača, bez obzira miruje li taj drugi ili se giba s obzirom na prvoga. U općenitom slučaju, koji opisuje posebna teorija relativnosti, istodobnost postaje relativna. Ako su za prvog opažača događaji A i B istodobni, onda su oni istodobni i za sve druge opažače koji miruju s obzirom na prvoga. Ali nisu više istodobni za one opažače koji se gibaju s obzirom na prvoga. Recimo, opažač na željezničkoj stanici opaža da su se dvije lampe upalile istodobno. Ali opažač u vlaku se s tim ne slaže. Prema njegovom opažanju najprije se upalila jedna lampa, a malo kasnije i druga.

Još jedna posljedica Lorentzovih transformacija, koja je uključena već u srednjoškolski program fizike, je kontrakcija duljine. Srednjoškolski program spominjem zato što se u njemu često viđaju loše sročeni zadaci vezani uz kontrakciju duljine. Naime, tekstovi tih zadataka ostavljaju dojam da su iz neke apsolutne perspektive tijela u gibanju skraćena, a ona mirna nisu. To je krivo. Apsolutna perspektiva ne postoji. Da bi se razumjelo koja se duljina kome skraćuje treba situaciju precizno definirati. Recimo da postoje dva inercijska opažača koji se jedan u odnosu na drugoga gibaju brzinom v. Prvi opažač miruje u svojem sustavu, recimo u svojem svemirskom brodu, ali se giba s obzirom na drugog opažača. Drugi opažač pak miruje u svojem sustavu, ali se giba s obzirom na prvog opažača. Dakle, obojica i miruju i gibaju se. Ovisi s obzirom na što. To je, doslovno, načelo relativnosti ili prvi postulat posebne teorije relativnosti. Recimo da su oba opažača na put krenula iz Pariza gdje su u Međunarodnom uredu za mjere i utege dobili svaki po jedan štap dugačak točno jedan metar. I recimo da kasnije, u gibanju, poštuju dogovor da drže svaki svoj štap točno u smjeru gibanja. Što opaža koji opažač? Prvi opaža da je njegov štap i dalje dugačak točno jedan metar, ali je štap od onog drugoga kraći. Drugi opaža isto to. Njegov štap je i dalje dugačak točno jedan metar, ali je štap od onog prvoga kraći. No, čiji je štap u stvarnosti kraći? To je krivo postavljeno pitanje. Nema apsolutne stvarnosti. Različiti opažači opažaju različito. I što je najvažnije, to nije privid. Nije iluzija. Svijet u kojem živimo je naprosto takav.

Nema apsolutne stvarnosti. Različiti opažači opažaju različito. I što je najvažnije, to nije privid. Nije iluzija. Svijet u kojem živimo je naprosto takav.

I još jedna posljedica Lorentzovih transformacija, također uvrštena u srednjoškolski program fizike, je dilatacija vremena. Ona dvojica koji su prije odlaska na put u Parizu pokupili jednake štapove uzeli su sa sobom i identične satove. Na Zemlji su njihovi satovi bili sinkronizirani, pokazivali su isto vrijeme i radili istim ritmom. Što opažaju dva putnika? Svatko od njih opaža da sat onoga drugog ide sporije. I obojica su u pravu.

Paradoks blizanaca

Kad bismo ostali samo na takvim situacijama odlazećih putnika koji se više nikada neće sresti, onda bismo s pravom mogli reći: “Koga briga?” Moj sat meni osobno ide istim ritmom, putovao ili ne, a to što vrijeme onoga drugoga (koga nikada neću sresti) opažam drukčije – to mi je nebitno. Međutim, daleko od toga da bi stvar bila nebitna. Itekako postoje situacije gdje posebna teorija relativnosti postaje bitna, gdje se može testirati, i gdje je nebrojeno puta testirana i potvrđena.

No, razmortimo najprije situaciju gdje se dva putnika ponovo susreću. Evo konkretnog slučaja. Dva blizanca, nazovimo ih Gauss i Humboldt, stari su 30 godina. Humboldt odlazi na svemirsko putovanje prema nekom dalekom ekstrasolarnom planetu, a Gauss ostaje na Zemlji. Usput, veliki matematičar Carl Friedrich Gauss i slavni prirodoslovac Alexander von Humboldt bili su suvremenici. Gauss je nerado odlazio od kuće, a Humboldt je putovao neprekidno. Naš blizanac  Humboldt putuje do svojeg odredišta sedam godina s 96 % brzine svjetlosti. A onda se trenutačno okrene i istom se brzinom sedam godina vraća do Zemlje. I ponovo se nađe s Gaussom.

Svaki paradoks kreće od naizgled razumnih tvrdnji, a onda završava u kontradikciji ili logički neprihvatljivom zaključku. No, to se redovito događa zato što je među polaznim, naizgled razumnim tvrdnjama, dobro skrivena neka kriva pretpostavka. Paradoks blizanaca pak sadrži pretpostavku da je situacija potpuno simetrična. A nije.

Humboldt putuje ukupno 14 godina. U njegovom vlastitom sustavu to je 14 godina. Ali Gauss opaža da Humboltov sat ide sporije. Ono što je u Humboltovom sustavu samo 14 godina (od rastanka do ponovnog susreta) u Gaussovom je punih 50 godina. To je numerički rezultat za dilataciju vremena ako je vlastito vrijeme 14 godina, a brzina 96 % brzine svjetlosti. Po tome bi Humbolt star 44 godine sreo Gaussa starog 80 godina. Kao da je otišao u budućnost.

Ali, brzina je relativna. Iz Humboltove perspektive Gauss je taj koji se giba. Sedam godina se udaljava pa se onda sedam godina približava. Humbolt međutim opaža da Gaussov sat ide sporije. Ono što Humbolt opaža kao Gaussovih 14 godina u njegovom je sustavu 50 godina. Po tome bi Humbolt star 80 godina sreo Gaussa starog 44 godine. Kao da se vratio u prošlost.

Sada ima smisla pitati što se stvarno događa, jer pri ponovnom susretu oni dijele zajedničku stvarnost. Može li netko od njih dvojice biti stariji? Ili primjer zapravo pokazuje da posebna teorija relativnosti nema smisla, da vodi u apsurd.

Svaki paradoks kreće od naizgled razumnih tvrdnji, a onda završava u kontradikciji ili logički neprihvatljivom zaključku. No, to se redovito događa zato što je među polaznim, naizgled razumnim tvrdnjama, dobro skrivena neka kriva pretpostavka. Paradoks o Ahileju i kornjači, primjerice, sadrži pretpostavku da zbroj beskonačnog reda ne može biti konačan. A može. Paradoks blizanaca pak sadrži pretpostavku da je situacija potpuno simetrična. A nije.

Čak i u idealiziranom slučaju u kojem Humbolt u početku trenutačno postigne brzinu 0,96 c,  trenutačno se okrene i na kraju se trenutačno zaustavi (što fizički nije izvedivo, ali služi da matematički pojednostavni račun i da osigura pretpostavku inercijskih opažača), situacija nije simetrična. Gauss je od rastanka do ponovnog susreta stalno u istom inercijskom sustavu, a Humbolt pri okretanju mijenja inercijski sustav. Dakle, i dalje je u inercijskom sustavu (pa vrijede postulati posebne teorije relativnosti), ali ne više u istom inercijskom sustavu. Novi inercijski sustav ima novu liniju istodobnosti, pravac koji pokazuje što je u Humboltovom sustavu istodobno. U prostorvremenskom dijagramu, koji je moćan matematički alat za vizualizaciju problema u teoriji relativnosti, očigledno je da je upravo ta promjena inercijskog sustava rješenje paradoksa. Linija istodobnosti sad povezuje Humbolta sa starim Gaussom. Bez posezanja za općom teorijom relativnosti, koja uključuje ubrzane sustave, posebna teorija relativnosti daje odgovor: Humbolt star 44 godine na povratku će naći Gaussa starog 80 godina.

Posebno je zanimljivo da realistična situacija, u kojoj se okretanje ne događa trenutačno nego traje neko konačno vrijeme, i koja traži puno zamršeniji račun gravitacijske dilatacije vremana, daje u konačnici isti odgovor. Gauss će, pri ponovnom susretu, biti stariji.

Zar ne bismo mogli reći i obrnuto: “Humbolt ostaje u istom inercijskom sustavu, a Gauss mijenja inercijski sustav”? Ne! Ovdje situacija nije simetrična, premda je to na prvi pogled teško uočiti. Krenimo od realne situacije u kojoj intervali ubrzavanja, usporavanja i okretanja nisu nula nego imaju konačne vrijednosti. Tada za Humbolta postoji ubrzanje, on više nije u inercijskom sustavu, i to je opazivo. Opažač ne može utvrditi svoju apsolutnu brzinu, ali može svoje apsolutno ubrzanje. Humbolt je ubrzavao, Gauss nije. Simetrija je izgubljena. Jedini je problem s realnom situacijom da u račun treba uključiti i opću teoriju relativnosti. Ako želimo ostati u okvirima posebne teorije relativnosti onda radimo idealizaciju u kojoj za intervale ubrzavanja uzimamo nulu. Tada su oba opažača uvijek u inercijskim sustavima i za račun na ne treba opća teorija relativnosti. Ali je poanta u tome da tom aproksimacijom simetrija nije spašena. Svejedno se može razlikovati opažača koji mijenja sustav od opažača koji ostaje u istom sustavu. Jedini je problem da se to bez matematike ne vidi. Postaje očito tek kad se nacrta prostorvremenski dijagram. Čitatelje koji žele saznati kako prostrovremenski dijagram pokazuje da oba blizanca opažaju da sat onoga drugog ide sporije upućujem na izvrsnu stranicu http://www1.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/notes/section12.html One još odvažnije, koji žele dobiti puno objašnjenje paradoksa blizanaca pomoću prostorvremenskih dijagrama, upućujem na stranicu http://www.mysearch.org.uk/website1/html/250.Twins.html

Eksperimenti

No matematičko predviđanje, samo za sebe, ne znači ništa. Možemo imati krasan matematički model koji naprosto ne opisuje svijet u kojem živimo, koji opisuje neki mogući svijet koji u našoj situaciji nije realiziran. Da bismo znali opisuje li model ovaj naš svemir potreban je eksperiment. Za teoriju relativnosti provedeno je nebrojeno eksperimenata. I svi su ti eksperimenti, do jednoga, teoriju potvrdili. Ako se uzmu u obzir svi eksperimenti s ubrzivačima čestica i kozmičkim zračenjem, koji teoriju potvrđuju implicitno, onda možemo reći da je teorija relatvnosti jedna od najpotvrđenijih teorija u fizici.

Eksperiment koji je ekvivalentan putovanju blizanaca proveden je prvi put 1971. godine. Fizičari Joseph C. Hafele i Richard E. Keating sinkronizirali su dva atomska sata i jednog ostavili na tlu, a drugog poslali na putovanje avionom. Atomski sat je najprecizniji instrument za mjerenje vremena kojega je čovjek ikada napravio. Današnji atomski satovi su toliko precizni da kasne manje od jedne sekunde u 14 milijardi godina (što je približna starost svemira). U 14 godina, koliko traje Humboltovo putovanje u njegovom vlastitim sustavu, kašnjenje atomskog sata je manje od jedne nanosekunde. U 14 sati, koliko je trajao let aviona Hafele–Keatingovom eksperimentu, kašnjenje atomskog sata manje je od jedne tisućinke nanosekunde. Brzina aviona je puno manja od brzine svjetlosti i trajanje eksperimenta je puno kraće od nekog svemirskog putovanja, stoga su i razlike u vremenima male. No, ipak su dovoljno velike da ih je moguće izmjeriti. Hafele i Keating su precizno izračunali, prema uvjetima putovanja, kolika mora biti razlika vremena na atomskim satovima: oko 200 nanosekundi, što je stotine tisuća puta više od mogućeg kašnjenja jednog atomskog sata u odnosu na drugi. A onda su eksperiment proveli i uvjerili se. Izmjerena razlika bila je upravo onakva kakvu je teorija predvidjela, gotovo milijun puta veća od mogućeg kašnjenja atomskih satova (iz čega slijedi da je ekstremno nevjerojatno da bi razlika u opaženim vremenima dvaju atomskih satova bila uzrokovana nepreciznošću satova). Slični eksperimenti su od tada do danas provođeni mnogo puta, svaki put sa sve preciznijim mjerenjima i svaki put s dodatnom potvrdom teorije relativnosti. Teorija relativnosti funkcionira. Vrijeme je relativno.