Gödelov ontološki dokaz. Što logika kaže o postojanju boga i njegovim svojstvima

Ontološki dokaz Kurta Gödela logički vodi do Boga koji nužno postoji, piše Zvonimir Šikić. No taj “matematički” Bog dijeli malo toga s božanstvima stvarnih vjera. Međutim, čim dopustimo da pozitivna svojstva variraju, otvara se prostor za pluralnost bogova bližu religijskoj praksi.

• Naslovna slika: Minimalistička vektorska ilustracija Kurta Gödela kako zamišlja logičnog Boga. (Midjourney v7)

­

• Anselmo, Descartes i Leibniz

Od davnina postoje različiti argumenti za postojanje Boga.

Na temelju dizajna: složeni univerzum mora imati dizajnera.

Na temelju etike: naš etički osjećaj zahtijeva postojanje Boga.

Na temelju uzročnosti: lanac uzroka mora stati na prvom uzroku.

Na temelju logike: sama logika zahtijeva postojanje Boga.

Odmah je važno upozoriti da se nijedan od ovako shvaćenih Bogova (dizajner, temelj etike, prvi uzrok, logička nužnost) ne može poistovjetiti s nijednim Bogom kojeg su tijekom ljudske povijesti štovali ili još danas štuju mnogi vjernici. U vezi s Bogom koji je logička nužnost, o tome će još biti govora na kraju teksta.

Osim toga treba jasno naglasiti da za samu vjeru dokazi o postojanju Boga nisu važni, jer vjera nije proizvod razuma nego vjere.

Gödelov dokaz je logički (ontološki) dokaz koji se veže uz Anselma, Descartesa i Leibniza. Anselmov je dokaz iz 11. stoljeća. On polazi od ideje „maksimalnog“ zamislivog bića i argument je sljedeći.

Izraz “maksimalno zamislivo biće” mora označavati nešto, budući da se „(bar) u umu nalazi što god se razumije“. Ali, nastavlja se argument, maksimalno zamislivo biće mora i realno postojati (tj. postojati i izvan uma), jer da realno ne postoji, mogli bismo zamisliti veće biće koje bi imalo i to svojstvo realnog postojanja (pa ono prethodno ne bi bilo maksimalno).

Argument zapravo pokazuje da “maksimalno zamislivo biće”, ako nešto označava, mora označavati nešto što realno postoji. Ali problem tog argumenta jest da “maksimalno zamislivo biće” možda ništa ne označava, jer bi npr. moglo biti u istoj kategoriji kao i „okrugli kvadrat“.

Descartes je 1641. u (1979. str. 42) dao manje-više isti argument, u obliku sljedećeg zaključka. Sve-savršeno biće ima svako savršenstvo. Postojanje je savršenstvo. Dakle, sve-savršeno biće ima i savršenstvo postojanja, tj. sve-savršeno biće postoji.

Leibniz je 1706. u (1949. str. 504) upozorio da Descartesov argument pretpostavlja da sve-savršeno biće nije proturječno. Leibniz razumije da bi tako shvaćeni Bog (sve-savršeno biće) mogao biti proturječan poput „okruglog kvadrata“. On je to smatrao nedostatkom Descartesovog argumenta, držeći da taj argument dokazuje da Bog postoji, ali samo pod pretpostavkom da je Bog moguć. Zato je htio dokazati da je moguće da Bog postoji.

S tim ciljem, Leibniz Boga također definira kao biće koje ima sva savršenstva, ali osim toga pretpostavlja da su ta savršenstva atomarna svojstva, nezavisna jedna od drugih, što ih čini međusobno kompatibilnima. (Dakle nisu poput okrugloga kvadrata koji je složeno svojstvo koje uključuje ravne stranice i okrugli oblik što je proturječno). Iz toga slijedi da sva savršenstva mogu prebivati u nekom biću. Dakle, moguće je da Bog postoji.

• Gödelov dokaz – uvod

Kurt Gödel je godinama radio na svom ontološkom argumentu. Prvi put ga je pokazao Dani Scottu početkom 1970. U strahu da mu se bliži kraj želio se osigurati da dokaz neće nestati zajedno s njim. U kolovozu 1970. kada se osjećao bitno bolje, rekao je Oscaru Morgensternu da je oklijevao objaviti dokaz, iako je s njim bio zadovoljan, iz straha da ljudi ne bi pomislili da vjeruje u Boga. Jer on samo logički istražuje je li takav dokaz moguć uz odgovarajuću aksiomatizaciju (Gödel 1995, str. 388).

Gödel je imao pravo. Mnogima je važnije pitanje je li on vjerovao u Boga, nego što ih zanima njegov ontološki argument.

Morgensternovo svjedočanstvo (iz njegovog dnevnika, s nadnevkom 29. 8. 1970.) navodi na pomisao da Gödel nije vjerovao u Boga. Ali ima i drugih svjedočanstava. Hao Wang (1996, str. 51) navodi da je dva dana nakon Gödelove smrti 14. 1. 1978. (što je i rođendan Alfreda Tarskog pa je to danas Svjetski dan logike) otišao do Gödelove supruge Adele koja mu je rekla da je on „iako nije išao u crkvu, bio religiozan i da je svake nedjelje ujutro u krevetu čitao Bibliju“. Osim toga Gödel mu je 1975. rekao (1996, str. 112) da je „kršteni luteran i da je njegova vjera teistička, a ne panteistička, bliža Leibnizu nego Spinozi“.

Toliko o Gödelovoj vjeri kojom se ovdje ne bavimo. Dodajmo još da Gödelove bilježnice sugeriraju da on nikada nije bio potpuno zadovoljan svojim dokazom, kao dokazom božje egzistencije, pa je realno pretpostaviti da je o svom ontološkom argumentu razmišljao ne kao o konačnom dokazu postojanja Boga, već kao o pokušaju rekonstrukcije Leibnizovog argumenta (Hazen 1998, str. 364).

Evo i Gödelovog dokaza u obliku koji je objavljen 1995. (Gödel 1995, str. 403-404). Slijedi Scottov prikaz Gödelovog dokaza, kako ga je Scott zapisao nakon susreta s Gödelom početkom 1970.

­­

­­

­­

­­

• Gödelovi aksiomi i definicije

Umjesto o savršenim svojstvima, Gödel govori o pozitivnim svojstvima i aksiomatizira ih. Aksiome pozitivnosti Gödel opravdava na sljedeći način (v. neposredno iznad crte u transkriptu).

„Pozitivno znači pozitivno u moralnom smislu (neovisno o akcidentalnoj strukturi svijeta). Samo su tada aksiomi istiniti. To također može značiti i čistu „atribuciju“ kao opreku „privaciji“ [lišavanju]. Ta interpretacija simplificira dokaz“.

Dakle, njegova ideja je logička: što god bila pozitivna svojstva, ako ona zadovoljavaju njegove aksiome (maksimalno „atribuirane“ kao u AP, dakle bez lišavanja) njegovi će dokazi biti valjani (i „simplificirani“ ). Nadalje, Gödel pozitivnost smatra logičkim pojmom, budući da aksiomi pozitivnosti sadrže samo logičke pojmove.

Aksiom potpunosti (Gödelov 1. i Scottov 3. aksiom):

Svojstvo i njegova negacija ne mogu oba biti pozitivni, ali jedno od njih jest.

\(\small AP \quad \quad (\forall S) – (\mathcal{P}(S) \land \mathcal{P}(-S)) \quad \land \quad (\forall S)(\mathcal{P}(S) \lor \mathcal{P}(-S))\)

Aksiom nužno impliciranog svojstva (Gödelov 5. i Scottov 2. aksiom):

Svako svojstvo koje nužno slijedi iz pozitivnog svojstva i samo je pozitivno.

\(\small ANI \quad \quad (\forall P)(\forall Q)(\mathcal{P}(P) \land □ (P \subseteq Q) \rightarrow \mathcal{P}(Q))\)

Definicija Boga: Bog je biće koje ima sva pozitivna svojstva.

\(\small DB \quad \quad B(x) \overset{def}{\Longleftrightarrow} (\forall S)(\mathcal{P}(S) \rightarrow S(x))\)

Lako slijedi da Bog ima samo pozitivna svojstva, jer ako bi vrijedilo Q(b) za neko svojstvo Q koje nije pozitivno onda bi, prema AP, svojstvo –Q bilo pozitivno pa bi imali Q(b) & − Q(b). Dakle, uz AP zapravo vrijedi

\(\small B(x) \Longleftrightarrow (\forall S)(\mathcal{P}(S) \leftrightarrow S(x)).\)

Aksiom konjunkcije (Gödelov 1. i Scottov 3. aksiom):

Konjunkcija svih pozitivnih svojstava je pozitivno svojstvo.

\(\small AK \quad\quad \mathcal{P}(\land {S : \mathcal{P}(S)}) \quad\quad \mathcal{P}(B)\)

Aksiom nužne pozitivnosti (Gödelov 3. i Scottov 4. aksiom):

Svako pozitivno svojstvo je nužno pozitivno.

\(\small ANP \quad\quad (\forall S)(\mathcal{P}(S) \rightarrow □ \mathcal{P}(S))\)

Definicija esencije: Esencija od x je svojstvo od x iz kojeg logički nužno slijede i sva druga svojstva od x.

\(\small DEs \quad\quad SEsx \overset{def}{\Longleftrightarrow} S(x) \land (\forall Q)(Q(x) \rightarrow □(S \subseteq Q))\)

Gödel u definiciji ne zahtijeva S(x) što Scott smatra previdom. To je očito tako, jer esencijalno svojstvo od x očito mora biti svojstvo od x.

Definicija nužne egzistencije: Neki x postoji nužno ako ima esenciju (?).

\(\small DNE \quad\quad N(x) \overset{def}{\Longleftrightarrow} (SEsx \rightarrow □\exists y,S(y))\)

Gödel i Scott definiraju nužnu egzistenciju s DNE. No, Scott je verbalno iskazuje kako smo je i mi iskazali, a to se formalno ne iskazuje s DNE. O tome više u 5. odjeljku.

Aksiom pozitivnosti nužne egzistencije (Gödelov 4. i Scottov 5. aksiom):

Nužna egzistencija je pozitivno svojstvo.

\(\small APNE \quad\quad \mathcal{P}(N)\)

Gödel opravdava aksiome APN i APNE time što su i pozitivnost i esencija logički pojmovi (a sve logičko je nužno). Za esenciju to vrijedi s obzirom da je logički definirana. Za pozitivnost, kako smo već objasnili, jer je definirana aksiomatski samo uz pomoć logičkih pojmova.

• Gödelovi teoremi

Gödel iz prva dva aksioma, AP i ANI, dokazuje sljedeći teorem. (On je u njegovom rukopisu na dnu, ispod crte i iznad fusnota, a u Scottovom rukopisu to je 1. teorem).

1. Teorem: Ako je P pozitivno svojstvo, moguće je da nešto ima to svojstvo.

Dokaz: Pretpostavimo da nije moguće da ijedna stvar x ima pozitivno svojstvo P. To znači da je nužno da svaka stvar x nema svojstvo P, tj. nužno je da iz pretpostavke P(x) logički slijedi ¬P(x). Tada bi, prema ANI, i ¬P(x) bilo pozitivno svojstvo, što je nemoguće prema AP. Dakle, početna pretpostavka nije točna, tj. moguće je da neki x ima pozitivno svojstvo P.

Iz prva tri aksioma AP, ANI i AK logički slijedi da je moguće da Bog postoji. (Gödel to ne dokazuje. Scott, bez dokaza, moguću egzistenciju Boga navodi kao ekvivalent aksioma AK.)

2. Teorem: Moguće je da Bog postoji (ako vrijede aksiomi AP, ANI i AK).

Dokaz: Konjunkcija svih pozitivnih svojstava i sama je pozitivno svojstvo, prema AK. Zato je, prema 1. teoremu (koji slijedi iz AP i ANI) moguće da neki x ima to svojstvo. Dakle, moguće je da neki x ima sva pozitivna svojstva. No takav x je Bog po definiciji DB, što znači da je moguće da Bog postoji.

Sljedeći teorem Gödel navodi bez dokaza. Vjerojatno ga smatra očitim. (Teorem je u Gödelovu rukopisu neposredno ispod 3. aksioma, a u Scottovom je to 2. teorem.)

3. Teorem: Esencija Boga je biti Bog.

Dokaz: Da je nešto Bog znači da ima sva pozitivna svojstva pa i konjunkciju svih tih svojstava koju označimo s B. Tada B implicira svako pozitivno svojstvo, tj. svako božje svojstvo. To znači da je B božja esencija. Dakle, biti Bog je božja esencija.

Sljedeći teorem Gödel izriče, ali ne dokazuje. Vjerojatno ga smatra očitim. (Teorem je u Gödelovu rukopisu prvi red teorema koji slijedi 4. aksiomu, a u Scottovom rukopisu dokaz je u prvom redu 3. teorema.)

4. Teorem: Ako Bog postoji onda nužno postoji.

Dokaz: Pretpostavimo da je b Bog. Tada b ima sva pozitivna svojstva pa prema aksiomu APNE ima i svojstvo nužnog postojanja, tj. vrijedi N(b). Osim toga, prema 3. teoremu, B je esencija od b, tj. vrijedi i BEsb. No tada iz DNE, tj. iz N(b) ⇔ (BEsb → □∃x B(x)), odmah slijedi □∃x B(x).

Koristeći se 4. teoremom Gödel dokazuje sljedeći ključni teorem. (Dokaz čine zaključci “hence, hence” koji slijede iskazu Gödelovog zadnjeg teorema. U Scottovom rukopisu to su zaključci označeni trotočkama u dokazu njegovog 3. teorema.)

5. Teorem: Ako je moguće da Bog postoji onda je nužno da postoji.

Dokaz: Evo formalnog dokaza koji ćemo detaljno objasniti.

\(\small T4 \equiv \exists x B(x) \rightarrow □\exists x B(x)\)

\(\small \Rightarrow \quad □(\exists x B(x)) \rightarrow □\exists x B(x)\)

\(\small \Rightarrow \quad ◇\exists x B(x) \rightarrow ◇□\exists x B(x)\)

\(\small \overset{s5}{\Rightarrow} \quad ◇\exists x B(x) \rightarrow □\exists x B(x)\)

Prvi red je iskaz 4. teorema: ako Bog postoji onda nužno postoji.

Drugi red tvrdi da je prvi red nužan, jer je nužno sve što je logički dokazano.

Treći red je posebni slučaj općeg zakona modalne logike koji tvrdi da iz □(P → Q) logički slijedi ◊P → ◊Q. Naime, ako je P → Q nužno, to znači da u svakom mogućem stanju stvari iz P slijedi Q. Pretpostavimo sada da je P moguće, tj. da u nekom mogućem stanju vrijedi P. Onda u tom istom stanju vrijedi i Q, jer P → Q vrijedi u svakom mogućem stanju stvari. No, to znači da je i Q moguće.

Četvrti je red posebni slučaj općeg zakona modalne (S5) logike koji tvrdi da iz ◊□P logički slijedi □P. Naime, ako postoji moguće stanje stvari u kojem je nužno P, onda u svim stanjima stvari mora biti P. No, to znači da je P nužno.

Modalna logika S5 pretpostavlja da je svako stanje stvari moguće u odnosu na svako drugo stanje stvari. Dakle, ako je nešto nužno u jednom stanju stvari, nužno je u svima, što je bilo ključno za prethodni argument. Postoje modalne logike u kojima to nije tako. Na primjer, u modalnoj logici modaliteta „obavezno je“ i „dopušteno je“, nije svako stanje stvari dopušteno u odnosu na svako drugo stanje stvari. No, to je logika normativne, a ne logičke nužnosti i mogućnosti. Logičkom nužnošću i mogućnošću ravna S5.

Sljedeći teorem je konačni rezultat koji Gödel želi izvesti iz svojih aksioma. (U Gödelovom rukopisu on se niti iskazuje niti dokazuje, nego se očito podrazumijeva, a u Scottovom rukopisu on je zadnji red njegovog 3. teorema.)

6. Teorem: Bog nužno postoji.

Dokaz: Neposredna posljedica 2. i 5. teorema.

• Kritika Gödelovog dokaza

Konzistentnost aksioma

Za Leibniza su savršenstva atomarna svojstva. Zato je svaka njihova kombinacija kompatibilna i kao takva može biti svojstvo nekog bića. Pretpostavljam da su pozitivna svojstva, za Gödela, baš te proizvoljne kombinacije atomarnih savršenstava. No, on želi biti eksplicitniji od Leibniza pa postulira aksiome koje pozitivna svojstva moraju zadovoljavati.

Naravno, postavlja se pitanje postojanja sustava pozitivnih svojstava S koji bi zadovoljavao Gödelove aksiome. Čini se da je Gödelu to neupitno, iako to ne obrazlaže. No, konzistentnost Gödelovih aksioma ipak treba dokazati.

Evo mojeg dokaza. Ako vas ne zanimaju matematički detalji možete ga zanemariti i odmah se prebaciti na sljedeći odjeljak „Prihvatljivost aksioma“. Svojstva objekata iz univerzuma U promatramo ekstenzionalno, tj. kao podskupove od U. Zanimljive su nam familije podskupova od U, označimo ih s ℱ, koje ne sadrže sve podskupove od U i koje zadovoljavaju sljedeće aksiome:

AI: Svaki skup koji sadrži neki skup iz ℱ i sam je u ℱ.

AKK: Konačni presjek skupova iz ℱ i sam je u ℱ.

AP: Za svaki podskup od U vrijedi da su on ili njegov komplement u ℱ.

Uočite da u AI ne zahtijevamo nužno sadržavanje, kao u ANI, te da se u AKK ograničavamo na konačne konjunkcije, za razliku od AK. Familije podskupova od U koje ne sadržavaju sve podskupove od U i koje zadovoljavaju aksiome AI i AKK u matematici se zovu filterima na U. Ako zadovoljavaju i aksiom AP, zovu se ultrafilterima na U.

Glavni filter je onaj koji sadrži minimalni skup sadržan u svakom skupu tog filtera. Lako se dokazuje da je filter koji zadovoljava AK (dakle filter koji ima svojstvo proizvoljnih presjeka) uvijek glavni filter.

Evo dokaza. Neka je ℱ filter na U (dakle familija podskupova od U koja je zatvorena na konačne presjeke i nadskupove, ali ne sadrži ∅). Kada ℱ ne bi bio glavni filter, onda bi zbog svojstva proizvoljnih presjeka vrijedilo ∩Aₓ = ∅ ∈ ℱ, i ℱ ne bi bio filter. Dakle, svaki filter sa svojstvom proizvoljnih (a ne samo konačnih) presjeka je glavni filter.

Ako je ℱ glavni ultrafilter, onda je njegov minimalni skup (tj. onaj koji ga čini glavnim) singlton, tj. on je {x} za neki x ∈ U. Naime, ultrafilter je uvijek maksimalan pa minimalni skup koji ga generira ne može imati više od jednog elementa, jer bi uklanjanjem nekog elementa iz tog minimalnog generatora dobili minimalni skup koji generira još veći ultrafilter, što je nemoguće.

Pretpostavimo sada da postoji samo jedan univerzum U i u njemu samo jedno moguće stanje stvari. Tada se Gödelov aksiom ANI svodi na AI, a konzistentnost Gödelovih aksioma slijedi iz postojanja strukture koja zadovoljava Gödelove aksiome s AI umjesto ANI. No, dokazali smo da te aksiome zadovoljava svaki glavni ultrafilter na U, a njih dokazivo ima (to su familije nadskupova od {x}, za bilo koji x). Dakle, Gödelovi aksiomi jesu konzistentni.

Prihvatljivost aksioma

Hajek (vidi Sobel, str. 122) ukazuje na sljedeći problem Gödelovih aksioma ANI i AK. Konjunkciju svih pozitivnih svojstava Gödel označava s B, a Boga definira kao biće koje ima svojstvo B. Hajek konjunkciju svih negativnih svojstava označava s V, a Vraga definira kao biće koje ima svojstvo V. Iz ANI i AK logički slijedi da je “biti Bog ili Vrag” pozitivno svojstvo, jer B ⇒ (B ∨ V). No, tvrdnja da je “biti Bog ili Vrag” pozitivno svojstvo protivi se našoj intuiciji, i u moralnom i u ontološkom smislu.

Još jaču kritiku predlaže Sobel (vidi Sobel, str. 122), tvrdeći da svojstvo “biti Bog ili Vrag” nije samo pozitivno nego i negativno, što je u direktnoj kontradikciji s AP. Naime, Sobel smatra da, analogno aksiomu ANI, možemo pretpostaviti da iz negativnih svojstava logički slijede samo negativna svojstva. No tada iz V ⇒ (B ∨ V) slijedi da je “biti Bog ili Vrag” negativno svojstvo.

Međutim, Sobelova pretpostavka ne stoji. Sjetimo li se simplificiranog modela u kojem su skupovi pozitivnih svojstava ultrafilteri, jasno je da ne možemo pretpostaviti da iz negativnih svojstava logički slijede samo negativna svojstva. Naime, komplementi skupova iz nekog ultrafiltera sigurno nisu zatvoreni na nadskupove, tj. negativna svojstva sigurno ne impliciraju samo negativna svojstva.

Sljedeći prigovor je Scottov. On smatra da je Gödelovo korištenje aksioma AK petitio principii, jer je taj aksiom jednostavni ekvivalent mogućnosti Božjeg postojanja (koja je ključna za Gödelov dokaz; ostalo se svodi na 4. teorem da Bog nužno postoji ako postoji i na modalni argument iz 5. teorema).

Naime, da mogućnost Božjeg postojanja slijedi iz AK, AP i ANI dokazano je u 2. teoremu. S druge strane, ako je moguće da Bog postoji, onda on, prema definiciji Boga DB, ima sva pozitivna svojstva, dakle i njihovu konjunkciju. No tada je i ta konjunkcija pozitivno svojstvo jer su, uz AP, sva božja svojstva pozitivna. To znači da iz mogućnosti da Bog postoji slijedi AK.

Dakle, Scott smatra da ključni Leibnizov prigovor (da ontološki dokazi pretpostavljaju mogućnost da Bog postoji) vrijedi i za Gödelov dokaz, jer je njegov AK zapravo ta ista pretpostavka u malo drugačijem ruhu.

No, zapravo imamo:

\(\small AP, ANI \Rightarrow AK \rightarrow ◇\exists x B(x)\)

\(\small AP \Rightarrow ◇\exists x B(x) \rightarrow AK\)

Te su implikacije zanimljive i čine ne baš potpuno trivijalnu analizu veze ključne pretpostavke ◊∃x B(x) s aksiomom AK, pa mislim da Scott nije u pravu.

Esencija i nužna egzistencija

Gödel na sljedeći način definira esenciju:

\(\small DEs \quad\quad SEsx \overset{def}{\Longleftrightarrow} S(x) \land (\forall Q)(Q(x) \rightarrow □(S \subseteq Q))\)

Relacija Es je očito funkcionalna, tj. iz SEsx i QEsx slijedi □(S ≡ Q). Zato je možemo gledati i kao parcijalnu funkciju Es(x) koja je definirana na onim objektima x koji imaju esenciju. Podrazumijeva li Gödel da je ona totalna, nije jasno (vidi dalje u vezi s N).

Osim toga, svaki x koji ima esenciju jednoznačno je i nužno određen tom esencijom, tj. Es(x) = Es(y) ↔ □(x = y). Naime, iz Es(x) logički nužno slijedi svojstvo „biti jednak x-u“. Zato iz Es(x) = Es(y) logički nužno slijedi da iz Es(y) logički nužno slijedi svojstvo „biti jednak x-u“. Dakle, „biti jednak x-u“ je nužno svojstvo od y, tj. □(x = y).

Kada je „biti a“ esencija nekog a? Odgovor je jednostavan:

\(\small \hat{x}[x = a]Esa \Longleftrightarrow a = a \& (\forall Q)(Q(a) \rightarrow □\forall x(x = a \rightarrow Q(x)))\)

\(\small \Longleftrightarrow \forall Q(Q(a) \rightarrow □Q(a))\)

Dakle, „biti a“ je esencija nekog a ako su i samo ako su sva njegova svojstva nužna.

U 3. teoremu smo (bez poziva na nužnost božjih svojstava) dokazali da je esencija Boga biti Bog. To znači da 3. teorem dokazuje da su sva božja svojstva nužna, tj. (prema AP) da su sva pozitivna svojstva nužna. Dakle, aksiom ANP je dokaziv, tj. nepotreban je kao aksiom.

Dodajmo još da Gödelov sustav implicira monoteizam, jer ako x i y imaju ista svojstva, onda su oni identični. Naime, svaki x ima svojstvo „biti jednak x-u“, pa ako y ima ista svojstva kao x, onda i y ima to svojstvo, tj. y = x. Dakle, u svakom mogućem svijetu postoji jedan jedini Bog. Dapače, to je jedan te isti Bog u svim svjetovima, jer su sva njegova svojstva nužna (prema aksiomu APN), tj. u svim mogućim svjetovima Bog ima ista svojstva. Dakle, to je isti Bog u svim mogućim svjetovima.

Razmotrimo sada Gödel–Scottovu definiciju nužne egzistencije:

\(\small DNE \quad\quad N(x) \overset{def}{\Longleftrightarrow} (SEsx \rightarrow □\exists x S(x))\)

\(\small DNE’ \quad\quad N(x) \overset{def}{\Longleftrightarrow} \exists S(S = Es(x))\)

I Gödel i Scott definiraju nužnu egzistenciju s DNE. No, Scott je verbalno iskazuje s „neki x postoji nužno ako ima esenciju“, a to se formalno iskazuje s DNE′. Dakle, nije jasno misli li Scott na DNE ili DNE′. Vjerojatno ipak misli na DNE, jer tu varijantu koristi u dokazu 4. teorema.

No, DNE je problematična definicija. Kao prvo, iz nje slijedi da svaki x koji nema esenciju nužno postoji. Po kontrapoziciji slijedi da svaki x koji postoji kontingentno, ima esenciju. No, očekivali bismo, ako itko nema esencije, da je to neki kontingentni x, pa se možemo složiti sa Sobelom (Sobel, str. 132) da Gödel implicitno pretpostavlja da svaki x ima esenciju. Uz tu (problematičnu?) pretpostavku, DNE više nije problematična definicija.

Gödel pojam esencije koristi samo da bi dokazao 4. teorem: ako Bog postoji onda nužno postoji. Osim toga, pretpostavljam da je Gödel uveo pojam esencije samo zato da bi nužnu egzistenciju mogao definirati bez da pretpostavi predikat egzistencije (jer se ta pretpostavka protivi dogmi da „egzistencija nije predikat“). Uz predikat egzistencije E, definicija nužne egzistencije bila bi jednostavnija:

\(\small N(x) \overset{def}{\Longleftrightarrow} □E(x)\)

Naravno, tada bi dokaz 4. teorema bio trivijalan. Naime, ako Bog postoji, onda nužno postoji, jer ima sva pozitivna svojstva pa i svojstvo nužnog postojanja koje je pozitivno prema aksiomu APNE.

No, egzistenciju i nužnu egzistenciju možemo izraziti i bez predikata egzistencije E i bez pojma esencije. Naime, tvrdnja da postoji a može se izraziti s ∃y(a = y), a tvrdnja da a postoji nužno s □∃y(a = y). Dakle, definicija nužne egzistencije može biti jednostavnija:

\(\small DNE” \quad\quad N(x) \overset{def}{\Longleftrightarrow} □\exists y (x = y)\)

Tada je i dokaz 4. teorema jednostavniji: Ako ∃x B(x), neka je b neki takav x. Onda b ima sva pozitivna svojstva, pa i svojstvo nužnog postojanja, prema aksiomu APNE. Dakle □∃x(b = x), tj. □∃x B(x).

Modalni kolaps

Sobel je dokazao (Sobel, str. 134) da Gödelov modalni sustav kolabira pod uvjetom da svaki x ima esenciju. U tom slučaju svaka istina postaje nužna, tj. za svaku tvrdnju Q dokazivo je Q ↔ □Q. Preciznije, Sobel je dokazao sljedeći teorem:

Teorem:

1) Ako x postoji, onda x nužno postoji, tj. ∃y(x = y) → N(x).

2) Svaka istina je nužna istina, tj. ∀X(X → □X).

Dokaz:

1) Za svaki a (koji postoji i koji je različit od b), Bog b ima svojstvo “x ≠ a & Es(a) = A“. Budući da je to svojstvo (kao božje svojstvo) pozitivno i nužno, a nužno postoji.

2) Za svaku istinitu tvrdnju Q, Bog b ima svojstvo “x = x → Q“. To je svojstvo (kao božje svojstvo) pozitivno i nužno, tj. □(x = x → Q), pa odmah slijedi i □Q.

Uz moju definiciju nužne egzistencije DNE″ (koja ne pretpostavlja esencije), dokaz je jednostavniji.

Dokaz:

2) Za svaku istinitu tvrdnju Q, Bog b ima svojstvo “x = x → Q“. To je svojstvo (kao božje svojstvo) pozitivno i nužno, tj. □(x = x → Q), pa odmah slijedi i □Q.

1) Nužno postojanje postojećeg a slijedi ako za Q uzmemo ∃y(a = y).

Ukratko, Gödelov dokaz ne treba esencije, a njegov sustav modalno kolabira i u formulaciji bez esencija.

Problem stvarno štovanih bogova

Gödelov Bog nije Bog vjernika koji štuju svojega Boga. Naime, ako Gödelov Bog ima neko svojstvo, onda je ono nužno pozitivno, pa je nužno da Bog ima to svojstvo (odakle, kao što smo vidjeli, slijedi radikalni monoteizam: postoji jedan jedini Bog isti u svim mogućim svjetovima).

S druge strane, vjernici Boga štuju zbog njegovih svojstava koja nisu nužna (Sobel, str. 130). Zbog toga što je pun mudrosti, ljubavi, milosrđa, znanja, moći itd. Naime, naša je nepokolebljiva intuicija da su moguća i stanja stvari u kojima ne postoje takva bića puna mudrosti, ljubavi, milosrđa, znanja, moći itd. A pogotovo su moguća stanja stvari u kojima nema bića koje je s nama bilo u veoma konkretnim odnosima tijekom povijesti – npr. koje je bilo uz naše pretke u teškim vremenima, koje se za nas žrtvovalo, koje sluša naše molitve, koje utječe na naše živote itd.

Sobelove intuicije po ovom pitanju dijele mnogi, ali ih svjesno odbacuju pristalice ontološkog argumenta (Adams, str. 399). Ukratko, Bog vjernika i Bog ontološkog dokaza nisu isti bogovi. Zato je Gödelov dokaz zanimljiv logičarima, ali je potpuno nezanimljiv vjernicima konkretnih vjera.

Što bi Gödelov sustav moglo približiti konkretnim vjerama?

Prva aksiomatizacija stvarno štovanih bogova

Aksiom AP možemo razdvojiti na dva dijela, tj. AP ↔ AP′ & AP′′:

\(\small AP’ \quad\quad (\forall S) – (\mathcal{P}(S) \land \mathcal{P}(-S))\)

\(\small AP” \quad\quad (\forall S)(\mathcal{P}(S) \lor \mathcal{P}(-S))\)

Lako se vidi da dokaz 1. teorema (ako je P pozitivno svojstvo, moguće je da nešto ima to svojstvo) slijedi već iz AP′ i ANI. No tada i dokaz 2. teorema (moguće je da Bog postoji) slijedi već iz AP′, ANI i AK. Dokazi 4. teorema (ako Bog postoji, onda nužno postoji), 5. teorema (ako je moguće da Bog postoji, onda je nužno da postoji) i 6. teorema (Bog nužno postoji) ne koriste se aksiomom AP.

Dakle, za Gödelov dokaz, u našoj varijanti koja se ne poziva na esencije, dovoljan je aksiom AP′. Aksiom AP′′ potreban je da bi se dokazalo da Bog, osim što ima sva pozitivna svojstva, ima samo pozitivna svojstva te da bi se dokazao 3. teorem (da je esencija Boga biti Bog). No, vidjeli smo da imati samo pozitivna svojstva nije poželjno, jer takvi nisu bogovi koje štuju stvarni vjernici, a osim toga smo vidjeli da esencije nisu potrebne.

Ova aksiomatizacija ima aksiome AP′, ANI, AK, ANP i APNE. Bog je definiran s DB, a nužna egzistencija s DN″. Bog osim (nužnih) pozitivnih svojstava, može imati i (ne nužna) nepozitivna svojstva, što ga čini bližim bogovima koje štuju konkretne vjere.

Druga aksiomatizacija stvarno štovanih bogova

Postoji i druga mogućnost. Pozitivnost definiramo aksiomima AP, AI i AK, koji definiraju glavne ultrafiltere (vidi gore). Oni sigurno postoje u svakom mogućem stanju stvari i u tom smislu je postojanje skupova pozitivnih svojstava nužno. No, nije nužno da je to isti ultrafilter pozitivnih svojstava u svakom mogućem stanju stvari, osim ako inzistiramo na aksiomu ANP koji zahtijeva baš to.

Dakle, bez ANP, nužno postoji biće koje ima sva pozitivna svojstva i samo njih, ali ono nije isto u svim mogućim stanjima stvari. Drugim riječima, razna moguća stanja stvari mogu imati različite Bogove.

Gödelov dokaz u našoj varijanti bez esencija i dalje vrijedi, jer se u njemu nigdje ne koristi aksiom ANP. Njime se sada dokazuje da u svakom mogućem stanju stvari postoji Bog – dakle Bog nužno postoji – ali se ne dokazuje da je taj Bog jedan te isti u svim mogućim stanjima stvari.

Ova aksiomatizacija ima aksiome AP, AI, AK i APNE. Bog je definiran s DB, a nužna egzistencija s DN″. U svakom mogućem svijetu Bog ima sva pozitivna svojstva i samo njih, ali ona nisu uvijek nužna. To je opet bliže bogovima koje štuju konkretne vjere.

• Reference

Adams, R. M. Introduction Note to „1970 [Ontological Proof],” in Kurt Gödel, Collected Works, Volume 3, Unpublished Essays and Lectures, Oxford University Press, 1995.

Anselm, Anselm’s Basic Writings, tr. Sidney Norton Dean, Open Court, 1903.

Descartes, R. Meditations on First Philosophy, tr. J. Cottingham, Cambridge University Press, 1986.

Gödel, K. Collected Works, Vol. 3, Unpublished Essays and Lectures, Oxford University Press, 1995.

Hazen, A. P. On Gödel’s Ontological Proof, Australasian Journal of Philosophy, 76, 361–77, 1998.

Leibniz, G. W. New Essays Concerning Human Understanding, tr. A. G. Langley, Open Court, 1949.

Sobel J. H. Logic and Theism: Arguments for and against Beliefs in God Cambridge University Press, 2003.

Wang, H. A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, MIT Press, 1996.