Ako bi vrijeme krenulo unatrag bismo li to primjetili?

Problem "strijele vremena" jedan je od najdubljih misterija fizike. S jedne strane imamo svijet u kojem vrijeme ima istaknuti smjer. S druge strane imamo temeljne fizikalne zakone koji su invarijantni na promjenu smjera vremena. Pitanje je kako pomiriti ovu dihotomiju

• Dr. sc. Ivica Smolić je docent na Zavodu za teorijsku fiziku Fizičkog odsjeka zagrebačkog PMF-a

If someone points out to you that your pet theory of the universe is in disagreement with Maxwell’s equations — then so much the worse for Maxwell’s equations. If it is found to be contradicted by observation — well, these experimentalists do bungle things sometimes. But if your theory is found to be against the second law of thermodynamics I can give you no hope; there is nothing for it but to collapse in deepest humiliation.

Sir Arthur Stanley Eddington, The Nature of the Physical World (1928)

Jabuke trunu, željezo hrđa, čaše se padom na tvrdo tlo razlijeću u stotine krhotina, a mlijeko doliveno u šalicu kave postupno se ravnomjerno miješa s kavom. Ako bi netko snimio neku od ovih pojava i pustio vam snimku unatrag u vremenu, nema sumnje, bez problema biste uočili da se pojava na toj snimci odvija suprotno vašem intuitivnom očekivanju. Opažanje kako se u svijetu kojim smo okruženi fizikalni procesi odvijaju u jednom istaknutom smjeru kristaliziran je u tvrdnji tzv. drugog zakona termodinamike. Pa ipak, postoje i pojave koje našu intuiciju mogu staviti na kušnju. Izmješana voda i ulje spontano se „organiziraju“ u dva uredna, jasno odvojena sloja. Plavi kristal spontano se formira na niti uronjenu u otopinu modre galice. Živa bića uporno se opiru propadanju na koje su „osuđeni“ neživi predmeti u njihovoj okolini.

Što onda točno govori drugi zakon termodinamike, je li on uistinu apsolutno točan i kakve sve to ima veze sa smjerom protjecanja vremena?

Entropija

Vratimo se par stoljeća unatrag, u vrijeme kada su industrijske revolucije počele oblikovati moderni svijet u kojem danas živimo. Monumentalna modernizacija sve proizvodnje dogodila se uvođenjem strojeva s vanjskim i unutarnjim sagorijevanjem. Životinjski pogon zamijenjen je daleko moćnijim parnim kotlovima, što je ubrzalo prijevoz na kopnu i na moru. Skladištenje hrane, koje se do tada temeljilo na dovoženju leda iz hladnijih predjela i upotrebi sjenovitih dijelova kuće, sada je s hladnjacima postalo neusporedivo lakše. Znanstveni iskorak koji je omogućio sve ovo počiva na dubljem razumjevanju toplinskih strojeva, čije zakonitosti proučava termodinamika. Ogoljen do srži, toplinski stroj sastoji se od dva spremnika različite temperature. Dio energije koja će spontano prelaziti s toplijeg na hladniji spremnik možemo upotrijebiti za koristan rad ili obratno, kao kod hladnjaka, možemo upotrijebiti rad kako bi premjestili energiju s hladnijeg na topliji spremnik.

Temeljni pojam koji leži u srcu termodinamike je entropija. Jednostavno rečeno, entropija je mjera našeg ignoriranja u opisu promatranog sustava. Sustavi s kojima se termodinamika hvata u koštac imaju iznimno kompliciranu mikroskopsku strukturu pa je polazna točka radikalno pojednostavljenje  pripadnog fizikalnog modela. Na primjer, čaša vode sadrži otprilike (reda veličine) 10²⁴ molekula vode i egzaktan opis svake pojedine molekule u čaši bio bi beznadan i beskoristan posao[1]. Umjesto toga, mi model čaše vode svodimo na tek nekoliko fizikalnih parametara, npr. volumen, temperaturu i tlak.

Ljudi često pojam entropije vežu uz pojam nereda, ponukani ilustracijama u kojima sustavi s visokom entropijom izgledaju „neuredni“. Ovakvo poimanje je, međutim, varljivo. Sustav s visokom entropijom je onaj koji je moguće ostvariti s velikim brojem različitih mikroskopskih konfiguracija, neovisno o tome izgledaju li nam one „uredne“ ili „neuredne“.

Za veliku većinu praktičnih upotreba takav opis je sasvim dovoljan. Međutim, želimo li zadržati nešto egzaktnosti, moramo izmjeriti koliko toga smo zanemarili prilikom pojednostavljivanja. Konkretno, prvo treba prebrojati na koliko načina je moguće presložiti molekule vode tako da u makroskopskoj slici mi i dalje vidimo istu čašu vode, sa zadanim volumenom, temperaturom i tlakom. Entropija je logaritam tog broja, pomnožen s prigodnom fizikalnom konstantom[2]. Zašto logaritam? Tehnički, želimo konstruirati veličinu koja se u normalnim situacijama ponaša aditivno: ukupna entropija dva spojena sustava jednaka je sumi entropija pojedinačnih sustava. Ujedno, entropija će biti tim veća što je veći broj mikroskopskih konfiguracija (npr. položaji i brzine molekula vode u gornjem primjeru) na koji je moguće ostvariti sustav sa zadanim makroskopskim parametrima.

Ljudi često pojam entropije vežu uz pojam nereda, vjerojatno ponukani tipičnim ilustracijama u kojima sustavi s visokom entropijom izgledaju „neuredni“. Ovakvo poimanje je, međutim, varljivo i treba ga uzeti s velikom dozom opreza. Sustav s visokom entropijom je onaj kojeg je moguće ostvariti s velikim brojem različitih mikroskopskih konfiguracija, neovisno o tome izgledaju li nam one „uredne“ ili „neuredne“. Umjesto subjektivne usporedbe „neurednosti“ sustava imamo precizan, matematički definiran pojam entropije.

Što točno kaže drugi zakon?

Drugi zakon termodinamike kaže kako entropija izoliranog sustava ne pada u vremenu (dakle, ona može rasti ili ostati konstantna). Izoliran sustav je onaj koji s okolinom ne razmjenjuje energiju niti materiju. Upravo na tu riječ, izoliran, ljudi najčešće zaborave kada pronalaze primjere u kojima neki fizikalni sustavi naizgled spontano smanjuju entropiju. Na primjer, prilikom kristalizacije pažljivim mjerenjem možemo utvrditi da se ukupna entropija sustava kristala i otopine povećava (sam kristal nije izoliran sustav jer izmjenjuje energiju i materiju s okolnom otopinom u koju je uronjen). Slično rezoniranje vrijedi i za sve ostale kemijske procese. Konačno, sama Zemlja nije izoliran sustav jer neprekidno zaprima golemu količinu energije od nama najbliže zvijezde, Sunca.

No, zašto uopće vrijedi drugi zakon termodinamike? Razlog je jednostavno vjerojatnosni, ono što bismo mogli nazvati zakonom velikih brojeva. Sustav u stanju s većom entropijom ima veći broj različitih mikroskopskih konfiguracija na koji ga je moguće ostvariti. Stoga je i veća vjerojatnost da će nasumičnim razmještanjem konstituenata sustava (npr. molekula) početna konfiguracija prijeći u onu koja je „tipičnija“.

Entropija kako je objašnjava čuvena Khan Academy

Pokušajmo ovo ilustrirati sljedećim pojednostavljenim primjerom. Zamislimo izoliranu kutiju koja je s pregradom podijeljena na dva jednaka dijela: u jednom je vakuum a u drugom nekakav plin. Uklonimo li pregradu, molekule plina će se nasumično gibati kroz cijelu kutiju i vrlo brzo će plin ravnomjerno ispuniti sav raspoloživi prostor. Promotrimo pažljivije što se ovdje točno događa. S jedne strane imamo raspodjele u kojima je sav plin smješten u lijevu ili desnu polovicu kutije (svaka od njih se može ostvariti samo na jedan način), a s druge simetrične raspodjele molekula (koje možemo ostvariti na golem broj načina, biranjem polovice u koju bi svaka od molekula mogla biti smještena). Posljedično, entropija asimetričnih raspodjela je bitno manja od entropije stanja koje odgovara (egzaktno ili bar približno) simetričnim raspodjelama. Kada plin krene iz početnog stanja u kojeg smo ga u ovom misaonom pokusu pripremili, on vrlo brzo prelazi u ona stanja koja su naprosto znatno vjerojatnija. Drugim riječima, entropija mu raste sve dok ne dosegne maksimalnu vrijednost!

Čak i kada je plin ravnomjerno ispunio kutiju, kako se molekule nasumično gibaju, postoji mala vjerojatnost da se s vremenom opet pojave asimetrične raspodjele plina, uključujući i one u kojoj su se sve molekule opet našle na jednoj polovici kutije. Stoga, strogo govoreći, drugi zakon termodinamike nije apsolutno točan jer su spontani procesi u kojima se entropija izoliranih sustava smanjuje načelno mogući.

Primjetimo, čak i kada je plin ravnomjerno ispunio kutiju, kako se molekule nasumično gibaju, postoji mala vjerojatnost da se s vremenom opet pojave asimetrične raspodjele plina, uključujući i one u kojoj su se sve molekule opet našle na jednoj polovici kutije[3]. Stoga, strogo govoreći, drugi zakon termodinamike nije apsolutno točan jer su spontani procesi u kojima se entropija izoliranih sustava smanjuje načelno mogući[4]. Međutim, što je broj konstituenata sustava veći, to je vjerojatnost takvih procesa manja, a kada govorimo o brojkama poput 10²⁴ molekula, možemo slobodno konstatirati kako u praksi nikada nećemo vidjeti odstupanje od drugog zakona. Slikovito, jedna je stvar nekoliko puta za redom dobiti šeticu na bačenoj kocki, sasvim druga kvadrilijun puta za redom dobiti šesticu!

Drugi zakon termodinamike ima sumornu predikciju ultimativne sudbine svemira, poznatu kao toplinska smrt. Naime, kako entropija cijelog svemira raste, energija u njemu se „osipa“, odnosno razrijeđuje u obliku topline. Zvijezde polako dogorijevaju, materija se postupno urušava u crne rupe, a one se iznimno sporim procesom Hawkingovog zračenja pretvaraju u rijetku izmaglicu elementarnih čestica. U konačnici svemir nezaustavljivo putuje prema stanju maksimalne entropije, termodinamičkoj ravnoteži bez temperaturnih razlika, u kojem više nije moguća razmjena topline u svrhu obavljanja korisnog rada. Dovoljan je jedan pogled na noćno nebo kako bi se uvjerili da svemir još nije utonuo u toplinsku smrt. Štoviše, možemo odahnuti jer smo iznimno daleko od tog scenarija.

Problem strijele vremena

Sada dolazimo do jednog od najdubljih misterija fizike, tzv. problema „strijele vremena“. S jedne strane imamo svijet u kojem vrijeme ima istaknuti smjer. S druge strane, međutim, imamo temeljne fizikalne zakone koji su invarijantni na promjenu smjera vremena[5]. Pitanje je kako pomiriti ovu dihotomiju.

Postoji više logički neovisnih definicija strijele vremena[6]. Najvažnije među njima su

(a) termodinamička strijela vremena (vremenski smjer u kojem vrijedi drugi zakon termodinamike),

(b) psihološka strijela vremena (sjećamo se prošlih događaja, a nikad budućih, čime je opet istaknut jedan smjer u vremenu), i

(c) kozmološka strijela vremena (svemir se širi, što daje istaknuti smjer u prostorvremenu).

Psihološku strijelu vremena možemo jednostavno povezati s termodinamičkom: formiranje memorije (bilo u biološkom ili silikatnom mozgu) je proces čiji je rezultat, između ostalog, i povećanje entropije. Stoga, ove dvije strijele su nužno „uperene“ u istom smjeru.

Ako bi se svemir jednom počeo skupljati, bi li i svi procesi „krenuli unatrag“, odnosno bi li termodinamička strijela vremena promjenila svoj smjer, u skladu s kozmološkom? Promatračica koja bi se zatekla u takvoj epohi svemira lokalno ne bi primjetila ništa neobično, jednostavno jer je njena psihološka strijela vremena i dalje u skladu s termodinamičkom

Kada uspoređujemo termodinamičku i kozmološku strijelu vremena, pitanje koje se odmah nameće je priroda njihovog odnosa. Ako bi se svemir jednom počeo skupljati, bi li i svi procesi „krenuli unatrag“, odnosno bi li termodinamička strijela vremena promjenila svoj smjer, u skladu s kozmološkom? Razmislimo na trenutak što ovo točno znači. Promatračica koja bi se zatekla u takvoj epohi svemira lokalno ne bi primjetila ništa neobično, jednostavno jer je njena psihološka strijela vremena i dalje u skladu s termodinamičkom. Zanimljivije je pitanje kako bi izgledala interakcija među dijelovima svemira koji imaju suprotno usmjerene termodinamičke strijele vremena. Ovo i ostala srodna pitanja, nažalost, ostaju u domeni akademskih spekulacija jer prema trenutnim kozmološkim mjerenjima naš svemir nikada neće ući u fazu skupljanja.

Zašto je svemir u blizini Velikog praska bio u stanju niske entropije. Veliki prasak zamišljamo kao ekstreman događaj — pa ipak, to nije stanje s velikom entropijom, već upravo suprotno

Vratimo se na temeljni problem strijele vremena. Razlog zašto uopće postoji termodinamička strijela vremena je zato što svemir još nije dosegnuo stanje maksimalne entropije pa ona i dalje, prema drugom zakonu, raste. Trenutnu, relativno nisku, razinu entropije možemo trivijalno objasniti time što je ona ranije bila još niža. Ovakvo objašnjenje potom „selimo“ unatrag u prošlost sve do samog početka, Velikog praska. Stoga, pitanje koje se krije u srži problema strijele vremena jest zašto je svemir u blizini Velikog praska bio u stanju niske entropije. Primjetimo, Veliki prasak s pravom zamišljamo kao ekstreman događaj, neposredno nakon kojeg je sve što danas postoji u svemiru bilo komprimirano u smjesu s ekstremno velikom temperaturom i tlakom — pa ipak, ovo nije stanje s velikom entropijom, već upravo suprotno!

Umjesto svemira starog desetak milijardi godina imamo samo jedan ili, manje solipsistički, nekoliko mozgova, netom formiranih kao relativno manja fluktuacija, s memorijom koja se sastoji od naših opažanja i spoznaja o svemiru. Koliko god blesavo zvučao, ovaj scenarij je astronomski vjerojatniji od cijelog svemira kao fluktuacije

Iako literatura obiluje s pokušajima objašnjenja niske entropije u začetku svemira, definitivni odgovor još nije poznat. Na primjer, već je Ludwig Boltzmann predložio[7] da je možda cijeli svemir kakvog poznajemo jedna velika statistička fluktuacija od stanja maksimalne entropije. Izazov s takvim objašnjenjem jest što je dovoljna puno manja fluktuacija koja bi objasnila svijet koji vidimo, anegdotalno poznata kao „Boltzmannovski mozak“.

Boltzmanov grob sa slavnom formulom za entropiju

U ovakvom scenariju umjesto svemira starog desetak milijardi godina imamo samo jedan ili, manje solipsistički, više mozgova, netom formiranih kao relativno manja fluktuacija, s memorijom koja se sastoji od naših opažanja i spoznaja o svemiru. Koliko god blesavo zvučao, ovaj scenarij je astronomski vjerojatniji od cijelog svemira kao fluktuacije. Moderne ideje pokušavaju uvidjeti krije li se nešto u detaljima kvantne gravitacije što garantira nisku entropiju u blizini događaja kao što je Veliki prasak[8]. Za pretpostaviti je kako ćemo potpuno razumijevanje fenomena vremenske asimetrije imati tek s boljim razumijevanjem gravitacijske interakcije u ekstremnim uvjetima, kada kvantni efekti postaju značajni.

[1] Veličinu spomenutog broja možemo ilustrirati sljedećim misaonim pokusom. Zamislimo da molekule u čaši vode možemo nekako obilježiti. Izlijemo li čašu vode u svjetski ocean, sve ravnomjerno izmješamo i potom opet zagrabimo iz oceana s istom čašom, u njoj će se u prosjeku naći stotinjak obilježenih molekula!

[2] Konkretno, s Boltzmannovom konstantom k_B = 1.38 × 10^-23 m² s^-2 kg K^-1

[3] George Gamow u knjizi One Two Three… Infinity procjenjuje kako bi za nasumično skupljanje svog zraka u jednu polovicu tipične prostorije trebalo čekati reda veličine 10^{299999999999999999999999998} sekundi! Usporedbe radi, naš svemir je star reda veličine 10¹⁷ sekundi.

[4] Vidi npr.  http://www.nature.com/news/2002/020722/full/news020722-2.html

[5] Postoje sitni, izolirani izuzeci poput čestičnih procesa u kojima je narušena tzv. CP simetrija, ali oni nemaju veći značaj za ovu diskusiju (vidi npr.  https://arxiv.org/abs/physics/0402040)

[6] Detaljnija analiza se može naći u knjizi H. Price: Time’s Arrow and Archimedes’ Point, Oxford University Press, 1996.

[7] L. Boltzmann: „On Certain Questions of the Theory of Gases“, Nature 51 (1895) 413–415, https://www.nature.com/articles/051413b0

[8] Na primjer, „Weyl curvature hypothesis“ koju je uveo R. Penrose 1979. u članku „Singularities and Time-Asymmetry“, objavljenom u zborniku S. W. Hawking, W. Israel: General Relativity: An Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press