Rimska i arapska notacija brojeva (6). O brojkama i matematici uopće u dva tipa povijesti

Rimske su brojke slijepa ulica iz koje se dalje ne može razviti nikakva matematika, piše Zvonimir Šikić u novom nastavku polemike o povijesti rimskih i arapskih brojki. Osim za logaritme, rimske brojke su kočnica i za druge stvari poput algebre, analitičke geometrije, kalkulusa... za svu matematiku od renesanse na dalje.

• Naslovna fotografija: Ilustracija brojke VI uklesane u kamenu, ilustracija brojke 6 izrezbarene iz drveta. (Midjourney v6.1)

• Prethodni članci u polemici o rimskim i arapskim brojkama: Zašto je arapskim brojevima trebalo vise od pola milenija da zamijene rimske?, Ključni problem rimskih brojeva. Razvoj prirodnih logaritama, Jednostavnost je prednost rimskih brojeva. Egipatsko množenje i intuitivno zbrajanje, Jesu li rimski brojevi zbilja jednostavniji? Odsustvo povijesnih dokaza, Rimska i arapska notacija brojeva (5). Od računanja prstima do postupka na papiru. Materijalna sredstva i razvoj matematike.

U nastavku polemike o rimskim i arapskim brojkama osvrnut ću se na neke teze iz Ivankovićevog zadnjeg članka. On piše sljedeće:

Naravno, Šikić nije ni tvrdio da je rimska notacija zamijenjena arapskom radi otkrića logaritama, ali u opservaciji razlike između ‘radi’ i ‘zahvaljujući’ (arapskoj notaciji) radi se ustvari o dva pristupa povijesti matematike. … Povijest matematike matematičari svode na matematiku, a povijest potiskuju u drugi plan.

Tu je zaista riječ o dva pristupa povijesti matematike, onom vigovskom koji je tipičan za matematičare i onom protu vigovskom koji je tipičan za povjesničare. (Više o vigovskoj povijesti općenito kao i o njenim izvorima možete naći u uvučenim dijelovima teksta.)

­­

Vigovska povijest je pristup koji prošlost predstavlja kao linearnu progresiju prema modernosti. (CC0)

Povjesničar Herbert Butterfield bio je prvi koji je opisao i osudio ono što je nazvao “vigovskom interpretacijom povijesti“ držeći da je “proučavanje prošlosti koje s jednim okom gleda sadašnjost izvor svih grijeha i sofizama u povijesti”. Posebno je prezirao povjesničare koji prošlost podvrgavaju suvremenoj moralnoj prosudbi, držeći da to nikako nije posao povjesničara. Sljedeći naraštaji povjesničara gorljivo su preuzeli Butterfieldovu zabranu. Biti vigovac povjesničarima je postalo jednako odbojno kao biti seksist ili eurocentrik.

Nije bila pošteđena ni povijest znanosti. Kako bi izbjegli optužbu „vigizma“, povjesničari znanosti napustili su narativ o znanstvenom napretku pa čak i o “široj slici” bilo koje vrste. Fokusirali su se na prikaze malih ograničenih epizoda, čvrsto fokusiranih u prostoru i vremenu.

Vigovska (Whiggish) povijest je pristup koji prošlost predstavlja kao linearnu progresiju prema modernosti, često s implikacijom da se suvremene ideje i vrijednosti vide kao neminovni rezultat povijesnog razvoja. Ova perspektiva je posebno relevantna za povijest znanosti, jer nudi dosljedni narativ koji povezuje prošli razvoj sa sadašnjim znanjem. To onima koje zanima suvremena znanost olakšava da se, kroz evoluciju njenih koncepata i ideja, s tom znanosti bolje upoznaju. Zato je vigovska povijest znanosti posebno važna u obrazovnom kontekstu.

Kritičari vigovske povijesti tvrde da njezino pojednostavljivanje složene prošlosti zanemaruje razgranatu prirodu povijesnog razvoja što može dovesti do pogrešnih tumačenja razloga za prihvaćanje ili odbijanje određenih ideja. Oni smatraju da je posebno opasna vigovska tendencija zanemarivanja neuspjeha koji su dio povijesnog procesa, jer ti neuspjesi mogu pružiti dragocjene uvide u prirodu znanstvenog istraživanja. Ukratko, oni drže da vigovska povijest marginalizira alternativne perspektive i ideje koje nisu dovele do modernosti kakvu poznajemo, čime se okljaštruje bogatstvo i raznolikost povijesne misli.

Kada se vigovska povijest primjenjuje na povijest matematike, njena je očita prednost da razotkriva evoluciju matematičkih koncepata (npr. razvoj pojma algebarske strukture) i jasno pokazuje kako suvremena matematika proizlazi iz nekadašnje (npr. kako moderna teorija algebarskih struktura proizlazi iz teorije idealnih brojeva). S druge strane ona često ignorira doprinose ne-zapadnih matematika, utjecaje društveno-političkih konteksta i one smjerove matematičke misli koja se ne uklapaju u smjer koji vodi prema suvremenoj matematici.

U sukobu ovih pristupa važan je faktor da su protu vigovci uglavnom povjesničari koji nisu matematičari. Oni dobro vladaju povijesnim metodologijama, ali nedostatak matematičkog znanja ograničava njihovu sposobnost da u potpunosti shvate sve nijanse matematičkog razvoja. To često dovodi do pogrešnih tumačenja i do neprepoznavanja istih ideja u različitim prezentacijama. Nasuprot tome, matematičarima koji se bave povijesnom analizom svoje discipline nedostaje obuka u povijesnim metodama. To može dovesti do anakronističkih tumačenja ili neuvažavanja šireg povijesnog i kulturnog konteksta u kojem je nastajala prošla matematika. Idealan bi bio interdisciplinarni pristup koji bi premostio taj jaz i omogućio sveobuhvatnije istraživanje o tome kako su matematičke ideje evoluirale i kako su bile shvaćene u svoje vrijeme.

Nažalost taj se ideal rijetko realizira, jer vigovce primarno zanima kako je povijesno nastala suvremena matematika, dok protu vigovce primarno zanima prošla matematika potpuno neovisno o suvremenoj (koju često i ne znaju).

U znanstvenoj povijesti najčešće možemo reći tko je bio u pravu

Vjerojatno nije moguće govoriti o ispravnom i pogrešnom u povijesti umjetnosti ili religije pa čak ni u političkoj povijesti, ali u znanstvenoj povijesti najčešće možemo reći tko je bio u pravu. Možda, kako je tvrdio Butterfield, “nikada ne ćemo moći reći da su daljnji tijek događaja ili protek vremena dokazali da je Luther bio u pravu protiv pape“. Međutim, s velikom sigurnošću možemo reći da je protek vremena pokazao da je u pravu bio Kopernik (a ne Ptolemejeve pristaše) ili Newton (a ne Descartesovi sljedbenici). Povijest znanosti ima posebne značajke koje opravdavaju vigovsku interpretaciju. Osim toga povijest znanosti ima još jedan aspekt koji profesionalnim povjesničarima naprosto onemogućava da jednim okom gledaju sadašnjost (htjeli oni to ili ne). Naime, povjesničarima koji sami nisu (ili nisu bili) znanstvenici često nedostaje razumijevanje suvremene znanosti.

Ovdje ne branim matematičare kao povjesničare, nego želim naglasiti da inzistiranje na ideološkom polaritetu povjesničar vs matematičar čini više štete nego koristi, jer zamagljuje jedinu moguću osnovu za procjenu rada u povijesti matematike; kompetentnu znanost. Na primjer, povjesničari (protu vigovci) rutinski sumnjiče matematičare (vigovce) za platonističku vjeru u jednu jedinu istinsku matematiku, a dovoljno je vidjeti bogatu vigovsku povijest infinitezimalnog računa da se shvati koliko je to daleko od istine.

Naravno, matematičara koji želi pisati o povijesti matematike, a koji nije dovoljno upoznat s povijesnim razdobljem i primarnim dokumentima, treba kritizirati jednako kao i povjesničara koji nije dovoljno upoznat s matematikom da bi razumio finese i sve implicitne aspekte onoga što sadrži razmatrana matematika.

­­

Novi naraštaj sociologa preuzeo je još beskompromisniji stav protiv korištenja postojećeg znanja, čak i u varijanti bližoj Kuhnu.

Thomas Kuhn (iako i sam bivši znanstvenik) ustvrdio je 1968. da bi “u mjeri u kojoj je to moguće, povjesničar trebao ostaviti po strani znanost koju zna.”  Još beskompromisniji stav protiv korištenja postojećeg znanja zauzeo je novi naraštaj sociologa znanosti koji znanost proučavaju kao društveni fenomen, bilo u varijanti R. K. Mertona koja čak i sam kognitivni sadržaj znanosti izostavlja iz sociološkog istraživanja, bilo u varijanti bližoj Kuhnu, koja ipak pokušava naći sociološka objašnjenja samih znanstvenih ideja.

U međuvremenu nije nedostajalo ni branitelja vigovske povijesti znanosti, posebno među onima koji su poput Ernsta Mayra ili Stevena Weinberga i dalje radili kao znanstvenici. Oni svoj znanstveni rad ne vide samo kao izraz kulture prostora i vremena u kojem djeluju, nego ga vide kao posljednju fazu u procesu razumijevanja i objašnjavanja svijeta; procesa koji se proteže tisućljećima u prošlost. Taj dugi razvoj nema smisla ako ne prepoznamo da su neki bili u krivu, a neki u pravu, a to možemo učiniti samo iz perspektive našeg sadašnjeg znanja, koliko god ono bilo nesavršeno i podložno daljnjim promjenama.

Ivanković dalje piše:

 Katz i Parshall u svojoj povijesti algebre podsjećaju da udžbenici matematička područja uobičajeno prikazuju tako da slijede njihov „logički razvitak“.  U ovoj raspravi o rimskim i arapskim brojkama to bi otprilike izgledalo ovako: uspostavi se pozicijski sustav notacije koji omogući logaritme, na sve se to nasloni kalkulus a zatim „procvjetaju europska matematika i znanost“. Katz i Parshall su, međutim, zainteresirani za „probleme u prošlosti koji su potaknuli razvitak“. … Ako je, kako Šikić podsjeća, već u Antici, „kad je trebalo efikasno računati“ korišten pozicijski sustav, zašto nije prevladao već nakon Ptolomeja, i zašto su indo-arapskim brojkama trebali mileniji da se rašire svijetom.

Decimalna varijanta pozicijskog sustava zaista je olakšala otkriće logaritama (bez kalkulusa kojeg u trenutku otkrića još nema), a europska matematika i znanost će procvjetati iz mnogih razloga koji uključuju i Stevinovo uvođenje realnih brojeva kao decimalnih (konačnih i beskonačnih) razvoja. Rimske su brojke slijepa ulica iz koje se dalje ne može razviti nikakva matematika. Važno je razumjeti da su logaritmi samo jedan primjer (koji sam detaljnije prikazao). Međutim, rimske brojke su kočnica i za druge stvari poput algebre, analitičke geometrije, kalkulusa; ukratko za svu matematiku od renesanse na dalje. Dakle radi se o neuspjehu, koji bez obzira na protu vigovska upozorenja nije važan dio povijesnog razvoja matematike, jer nema tog dijela suvremene matematike (bilo elementarne bilo više) koji se nadovezuje na bilo koju ideju koju nalazimo u pojmu rimske brojke. Zato je očekivano da vigovci (koje zanima ona povijest koja rezultira suvremenom matematikom) rimske brojke ne drže zanimljivom temom.

S druge strane pozicijski je sustav od Antike (i to bez prestanka) prevladavao tamo gdje je trebalo efikasno provoditi velike račune i sustavno zapisivati rezultate tih računa, dakle u astronomiji i njenim efemeridama. U trgovini, gdje je obim računa bio manji, vladao je abak kojem nisu trebale arapske brojke. Dakle, na pitanje zašto je tako dugo trebalo da arapski sustav iz astronomije i matematike uđe u opću uporabu, odgovor je isti kao i na pitanje zašto ikakvoj matematici treba tako dugo da uđe u opću uporabu.

Dok god za to nema opće potrebe (jer u znanosti već imate pozicijski sustav, a u trgovini imate abak), a nema ni školovanja koje bi zadovoljilo tu još ne postojeću opću potrebu (ono će se pojaviti tek onda kada se pojavi ta potreba), to se neće desiti. Uostalom, zapitajte se zašto su trebala tisućljeća da pismenost postane opća. Odgovor je isti.

Ili, da se vratimo matematici, poznato je npr. da u visoko školsko matematičko obrazovanje suvremena matematika ulazi sa zakašnjenjem od 50 do 100 godina (analiza koja je zamijenila infinitezimalnu analizu u drugoj polovici 19. st. ušla je u redovnu sveučilišnu nastavu u drugoj polovici 20. st. a rehabilitirana infinitezimalna analiza iz 1960tih nije u nastavu ušla do dan danas).

Sljedeći Ivankovićev prigovor je tipično protu vigovski:

Za početak, neka bude prihvaćena Šikićeva tvrdnja da „rimske brojke nikada ne bi dovele do logaritama“. Iz nje ipak ne slijedi da je rimska notacija zamijenjena arapskom radi otkrića logaritama (kako bi bili otkriveni). Da bi tome bilo tako moralo bi se pokazati da su se korisnici rimske notacije suočili s problemom koji su mogli riješiti samo ‘otkrićem’ logaritama i da to nije išlo bez pozicijske notacije. K tome, i uz širenje arapske notacije, čak i uz namjeru da se njome omogući rješenje problema koji su riješeni logaritmima, oni nisu morali biti otkriveni, kao što nijedno otkriće nije zadano da se mora dogoditi.

Očito je da iz tvrdnje „rimske brojke nikada ne bi dovele do logaritama“ ne slijedi da je rimska notacija zamijenjena arapskom radi otkrića logaritama. Mislim da to nitko i nikada nije tvrdio, a ono što je sigurno jest da „matematika“ rimskih brojki nikada ne bi dovela do logaritama.

Stav da „logaritmi nisu morali biti otkriveni, kao što nijedno otkriće nije zadano da se mora dogoditi“  tipično je protu vigovski. Matematičar razumije da se to otkriće moralo dogoditi. Naime, nakon što je Simon Stevin uveo realne brojeve kao sustav konačnih i beskonačnih decimalnih razvoja s aditivnom i multiplikativnom strukturom (tj. sa zbrajanjem i množenjem) bilo je samo pitanje vremena da netko prepozna da je aditivni sustav svih realnih brojeva izomorfan multiplikativnom sustavu pozitivnih realnih brojeva. Pogotovo zato što je taj izomorfizam od pamtivijeka prisutan kao veza aritmetičkih i geometrijskih redova. A taj izomorfizam nije ništa drugo do logaritamska funkcija. Taj primjer je dobra ilustracija prethodno iznesene teze da „nedostatak matematičkog znanja ograničava sposobnost protu vigovaca da u potpunosti shvate sve nijanse matematičkog razvoja“.

U vezi s tim je i sljedeće Ivankovićevo pitanje:

Ako se tvrdi da su logaritmi mogli biti otkriveni tek nakon konstrukcije decimalnog pozicijskog sustava – u kojem je to trenutku točno postalo moguće, koja je to točno komponenta omogućila, koja je bila presudna i zašto?

Na to sam pitanje odgovorio u jednom od prethodnih članaka, ali evo još jednom. Osnovni je uvid da zbrajanju u aritmetičkom nizu (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 …) odgovara množenje u geometrijskom nizu (2¹, 2² , 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷, 2⁸, 2⁹ …). To je prastari uvid. Sljedeći je (Bürgijev i Napierov) uvid da će gustoća geometrijskog niza biti veća ako se baza 2 zamijeni bazom 1. Sljedeći je (Bürgijev) uvid da „decimalna“ baza  daje priraste u geometrijskom nizu koji su umnošci prethodnog člana niza s 10 000, tj. računanje niza se svodi na pomicanje decimalne točke za četiri mjesta i jednostavno zbrajanje.

Završimo s napomenom da Ivanković razumije važnost oba pristupa i vigovskog i protu vigovskog, jer piše sljedeće:

Radi izbjegavanja nesporazuma korisno je spomenuti da su oba pristupa povijesti i razvitku matematike – važna. Prvi pristup implicite ili eksplicite prikazuje da je prethodni doseg omogućavao ili čak nužno vodio kasnijem. No, nije se sve moralo dogoditi na način za koji se naknadno ustanovi da je sukladan nekoj unutrašnjoj logici: moglo je biti i drukčije, moglo se odvijati nekim drugim slijedom. Bezbroj je potvrda kontingentnosti u povijesti (i) matematike. Uostalom, upravo onoliko koliko je u svijetu ista i koliko se prožima toliko je u povijesti i u različitim kulturama i civilizacijama matematika i različita.

Ja bih ipak rekao da je zapravo šokantno koliko je često ista, a koliko je rijetko različita. No, problem povjesničara koji nisu matematičari jest da oni ne prepoznaju to isto  kada je u raznim opravama. Samo je matematičar mogao prepoznati Pitagorine trojke na plimptonu 322 iz 1800. pr. Kr. ili kineski teorem o ostacima u svim njegovim povijesnim izdanjima ili Taylorov teorem u ranijim indijskim spisima. S druge strane istina je da matematičari-povjesničari zanemaruju te oprave i njihov povijesni značaj.

Razlog je, da ponovim još jednom, što matematičare zanima povijest čiji je rezultat suvremena matematika, jer im ta povijest olakšava da se kroz evoluciju koncepata i ideja suvremene matematike bolje upoznaju sa suvremenom matematikom. A prošle matematike koje nemaju povijesnu vezu sa suvremenom matematikom rado prepuštaju povjesničarima.

­­

Lindberg piše da odgovarajuća mjera znanstvene teorije nije stupanj do kojeg je anticipirala modernu misao, već stupanj uspjeha u tretiranju znanstvenih problema vlastitog doba.

David C. Lindberg u Počecima zapadne znanosti  piše da odgovarajuća mjera znanstvene teorije nije stupanj do kojeg je anticipirala modernu misao, već stupanj uspjeha u tretiranju znanstvenih problema vlastitog doba. Koji je smisao ovakvog stava? Da poanta znanosti nije razumjeti svijet, nego odgovoriti na pitanja koja su bila popularna u nekom vremenu? Da je povijest znanosti priča o intelektualnim modama koje se slučajno smjenjuju, a ne povijest otkrivanja istine? Koliko god Thomas Kuhn i njegovi još radikalniji sljedbenici negirali znanstveni napredak, znanstvenici ga jasno vide (čak i u svojim kratkim životima, a kamoli u povijesti njihove znanosti). Stoga vigovska povijest nije samo jedna od nekoliko jednako vrijednih vrsta znanstvene povijesti.

I sam Butterfield imao je osjećaj za legitimnost vigizma u povijesti znanosti. U svojim predavanjima o povijesti znanosti (1948. na Cambridgeu) pridavao je veliku povijesnu važnost znanstvenoj revoluciji, koju nikada ne bi dao engleskoj Glorious Revolution (toliko voljenoj od izvornih vigovaca). Uostalom, već u The Whig Interpretation of History, Butterfield je prihvaćao vigovsko tumačenje povijesti pod nekim uvjetima. Na primjer, ako je moralnost “apsolutni sustav, jednako obvezujući za sva mjesta i vremena”, tada bi povjesničar “trebao promatrati priču o rastućoj svijesti ljudi o moralnom poretku ili o njihovom postupnom otkrivanju tog poretka”. Butterfield nije vjerovao da postoji apsolutni moralni poredak koji nam otkriva povijest ili religija, ali nije sumnjao da postoje zakoni prirode, jednako obvezujući za sva mjesta i sva vremena.