POVIJEST BROJEVA
U nastavku rasprave o povijesnom prelasku s rimskih na arapske brojeve, Zvonimir Šikić odgovara Aleksandru Hatzivelkosu na tezu da su rimski brojevi bili jednostavniji za korištenje neobrazovanom pučanstvu, ukazujući kako ne postoje dokazi da se metoda množenja "ruskog seljaka" koristila u Srednjem vijeku ili Renesansi.
U nastavku rasprave o povijesnom prelasku s rimskih na arapske brojeve, Zvonimir Šikić odgovara Aleksandru Hatzivelkosu na tezu da su rimski brojevi bili jednostavniji za korištenje neobrazovanom pučanstvu, ukazujući kako ne postoje dokazi da se metoda množenja "ruskog seljaka" koristila u Srednjem vijeku ili Renesansi.
Aleksandar Hatzivelkos u svojem članku Jednostavnost je prednost rimskih brojeva, kojim je odgovorio na moj članak Ključni problem rimskih brojeva, promiče tezu da su rimski brojevi bili jednostavniji i intuitivniji za opću populaciju koja je u Europi stoljećima bila slabo obrazovana pa je i zato tranzicija s rimskih na arapske brojeve trajala gotovo pet stotina godina. Kako kaže Hatzivelkos:
„Opća populacija tog vremena je uglavnom bila neobrazovana ili slabo obrazovana. No i tada su svim ljudima bile potrebne efikasne metode za jednostavno provođenje osnovnih aritmetičkih operacija. Doslovno svatko se u nekom trenutku našao u poziciji da je morao zbrojiti, oduzeti, pomnožiti ili podijeliti dva broja.
Teza koju iznosim glasi da je rimski brojevni sustav (usprkos ograničenjima koje je nametao razvoju matematike kao znanosti) po jednostavnosti i efikasnosti provođenja računa bio superioran indo-arapskom brojevnom sustavu u općoj populaciji tog vremena. Štoviše mislim da se to može dobro demonstrirati upravo odgovarajući na pitanje –Jeste li ikad pokušali tim (rimskim) brojevima množiti?“
Prije svega valja primijetiti da Hatzivelkos implicira da se značajan broj ljudi koristio metodom množenja rimskih brojeva koju on dalje opisuje. To je modifikacija egipatskog množenja otkrivenog na Rhindovom papirusu koji je datiran oko 1550. pr. Kr. Razlika je u tome da rimski sustav ima znakove za 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 … dok ih egipatski ima samo za 1, 10, 100, 1000 … ali to ovdje nije bitno. Bitno je da egipatska metoda u lijevom stupcu ne dijeli prvi faktor nego udvostručuje 1 dok ne dođe do vrijednosti koja bi u sljedećem koraku taj faktor premašila. Dakle, egipatsko množenje 12 17 izgleda ovako (prva dva retka se odbacuju jer je 8+4=12):
| 4 | 68 |
| 8 | 136 |
| 12 | 204 |
Relativno je sofisticiran zaključak da do istog odbacivanja redaka dolazimo i modificiranom metodom dijeljenja u lijevom stupcu (kako je korektno prikazuje A.H.). Kada se pojavio taj sofisticiraniji algoritam nije sasvim jasno. Vjerojatno ne prije 17. st. kada je uveden binarni sustav koji je u pozadini tog zaključka (što primjećuje i A. H.).
Dakle, modificirana metoda „ruskoga seljaka“ stara je najviše par sto godina pa je upitno (A. H.) „da su Egipćani, pa potom i Rimljani i Europljani Srednjeg vijeka koristili taj algoritam za određivanje umnoška [te da se on] jednako upotrebljavao u egipatskom i u rimskom brojevnom sustavu.“
Ostaje mogućnost da su se „ruski seljaci“ koristili izvornom egipatskom metodom, no i to je malo vjerojatno, budući da za to nema povijesnih potvrda. Na MO-PMF predavao sam povijest matematike tridesetak godina i kada sam god predavao o egipatskoj metodi množenja pokušavao sam naći neku potvrdu da su je koristili „ruski seljaci“. Najviše što sam našao jest da se (modificirana) metoda pojavila u jednom ruskom udžbeniku matematike starom dvjestotinjak godina i da se (zbog svoje jednostavnosti) često nazivala metodom seljaka. Te dvije nezavisne činjenice spojene su u sintagmu „metoda ruskog seljaka“.
No, nigdje se ne spominje da je korištena s rimskim brojevima.
Na primjer, u jednoj od najiscrpnijih povijesti brojeva. onoj Georgesa Ifraha A Universal History of Numbers (prijevod originala Histoire Universelle des Chiffres ), toga nema ni u 16. poglavlju Greek and Roman Numerals, ni u 26. poglavlju The Slow Progress of Indo-Arabic Numerals in Europe, nego samo u 14. poglavlju The Numbers of Ancient Egypt. Mislim da je gotovo sigurno da metoda nije korištena s rimskim brojevima ni u srednjem vijeku ni u renesansi pa ona naprosto ne postoji kao nešto što bi usporilo širenje indo-arapskih brojki u Europi tog vremena.
I dodajmo na kraju da je egipatska metoda jednostavna u slučajevima množenja manjih, npr. dvoznamenkastih brojeva (koje lako množimo i napamet), a prestaje to biti u slučajevima množenja većih brojeva. Dovoljno je da usporedite množenje 23958233 × 5830=139676498390 arapskom (u biti našom današnjom)metodom i egipatskom metodom:
28. ožujka 2026. / čita se 24 minute
ŠTO JE LOGIKA (9)
U devetom nastavku serijala o logici, Zvonimir Šikić pokazuje kako aksiomi prvog reda ne mogu jednoznačno odrediti beskonačne matematičke strukture. Zbog tog ograničenja, poznati sustavi poput aritmetike, realnih brojeva i teorije skupova neizbježno imaju i svoje nestandardne modele.
3. ožujka 2026. / čita se 7 minuta
U FOKUSU
Jedan od sad već uobičajenih elementa hrvatskog političkog folklora je predstava o ujedinjenju raznih stranaka koje se definiraju liberalnima, i kažu da mogu sa svima. Na što se u međuvremenu svela nekad jedna od najvećih hrvatskih stranaka, HSLS, odgovara Goran Gerovac.
20. siječnja 2026. / čita se 31 minutu
BIOGRAFIJA MILANA DURMANA
Milan Durman se bavio i perom i akcijom, među živim ljudima, piše Enis Zebić u biografiji hrvatskog Srbina koji je godinama uređivao najznačajniji hrvatski lijevi časopis nakon Krležinih - Književnik. Već kao dvadesetogodišnjak suorganizator je ilegalne komunističke tiskare u Zagrebu, a dvadesetak godina kasnije kao generalni sekretar Seljačkog kola neumorno na terenu zagovara suradnju Srba i Hrvata.