ŠTO JE LOGIKA (10)
U desetom nastavku serijala o logici, Zvonimir Šikić pokazuje kako se novi pojmovi uvode u matematičke teorije putem strogih definicija koje moraju biti eliminabilne i nekreativne. Zbog tog stipulativnog i preskriptivnog karaktera, formalne matematičke definicije neizbježno dolaze u sukob s našim svakodnevnim, intuitivnim poimanjem koncepata, što stvara kognitivne prepreke pri učenju matematike.
U desetom nastavku serijala o logici, Zvonimir Šikić pokazuje kako se novi pojmovi uvode u matematičke teorije putem strogih definicija koje moraju biti eliminabilne i nekreativne. Zbog tog stipulativnog i preskriptivnog karaktera, formalne matematičke definicije neizbježno dolaze u sukob s našim svakodnevnim, intuitivnim poimanjem koncepata, što stvara kognitivne prepreke pri učenju matematike.
Razmotrit ćemo uvođenje definicija u matematičku teoriju koja je formalizirana u jeziku kvantificiranih formi. Takva teorija osim logičkih sadrži i primitivne nelogičke pojmove čije je značenje determinirano aksiomima te teorije. U ovom poglavlju takve ćemo teorije naprosto zvati teorijama. Definicije se u teoriju uvode sekvencijalno. Prva definicija utvrđuje značenje novog pojma pomoću primitivnih pojmova, druga utvrđuje značenje drugog novog pojma pomoću primitivnih pojmova i prvog definiranog pojma, i tako dalje.
Najjednostavnija vrsta definicija su eksplicitne definicije.
EKSPLICITNA DEFINICIJA RELACIJE
U nekoj teoriji eksplicitna definicija n-mjesne relacije R je ekvivalencija oblika
R(x1,…,xn) ↔ A,
sa sljedećim ograničenjima:
Ograničenje 1. sprječava cirkularnost definicije. Ograničenje 2. jamči da je R n-mjesna relacija. Bez 3. ograničenja imali bismo npr.
R(x) ↔ P(x, y) ⟺ P(x, y) → R(x) ∧ R(x) → P(x, y) ⇔
⇔ ((∃y)P(x, y) → R(x)) ∧ (R(x) → (∀y)P(x, y)) ⇒ (∃y)P(x, y) → (∀y)P(x, y)
što je općenito neistinito. Uočite da 3. ograničenje ne sprječava varijable da budu slobodne u definiendumu iako nisu slobodne u definiensu. Na primjer, R(x, y) ↔ P(x) je dopušteno (i uvijek se može zamijeniti s ekvivalentom R(x, y) ↔ P(x) ∧ y = y).
Što se tiče operacija, imamo analognu definiciju.
EKSPLICITNA DEFINICIJA OPERACIJE
U nekoj teoriji eksplicitna definicija n-mjesne relacije o je ekvivalencija oblika
o(x1,…,xn) = t,
sa sljedećim ograničenjima:
Kao i prije, ograničenje 1. sprječava cirkularnost definicije. Ograničenje 2. jamči da je o n-mjesna operacija. Bez ograničenja 3. imali bismo npr.
o(x) = t(x, y) ⇒ t(x, y1) = o(x) = t(x, y1)
što bi moglo biti neistinito. Uočite opet da 3. ograničenje ne sprječava varijable da budu slobodne u definiendumu o iako nisu slobodne u definiensu t. Na primjer, o(x, y) = t(x) je dopušteno.
Lako je dokazati da su eksplicitne definicije pojmova (tj. relacija i operacija) uvijek eliminirajuće i nekreativne.
ELIMINABILNOST
Definicija D novog pojma eliminabilna je u nekoj teoriji akko vrijedi sljedeće. Ako se novi pojam pojavljuje u formi F onda postoji forma F’, u kojoj se novi pojam ne pojavljuje i forma D → (F ↔ F’) dokaziva je u toj teoriji.
NEKREATIVNOST
Definicija D novog pojma je nekreativna u nekoj teoriji akko vrijedi sljedeće. Ako je forma D → F dokaziva u toj teoriji i ako se novi pojam ne pojavljuje u formi F onda je i forma F dokaziva u toj teoriji.
Ova dva kriterija koja se obično se pripisuju Lesniewskom (iako je vjerojatniji izvor Ajdukiewicz) kriteriji su uspješnog definiranja:
Ako je forma kojom se uvodi novi pojam eliminabilna i nekreativna, onda je ta forma definicija tog pojma.
Na primjer, u polugrupi (G, +) mogli bismo pokušati definirati konstantu 0 i operaciju – sljedećim implicitnim „definicijama“:
x + 0 = x ㅤㅤㅤㅤㅤx – y = z ↔ x = y + z
No, predložene „definicije“ su kreativne. Iz x + 0 = x slijedi (∃y)(x + y = x) što nije dokazivo za polugrupe. U drugom slučaju, x – y = z implicira (∃z)(x – y = z), što zajedno s x – y = z ↔ x = y + z implicira (∃z)(x = y + z), a ni to nije dokazivo za polugrupe.
Implicitne definicije treba pažljivo formulirati kako bi se izbjegao problem s kraja prethodnog odjeljka.
IMPLICITNA DEFINICIJA KONSTANTE
U nekoj teoriji implicitna definicija konstante c je ekvivalencija oblika
x = c ↔ C(x),
sa sljedećim ograničenjima:
Uočite da je forma x = c ↔ C(x) ekvivalentna formi C(c) ∧ (C(x) → x = c). S obzirom na dokazivost forme (∃!x)C(x), to je ekvivalentno s C(c). Dakle, u prisutnosti 3. uvjeta, C(c) je implicitna definicija konstante c.
Na primjer, u teoriji polja, forma
x = 1/2 ↔ x + x = 1
uspješno definira 1/2 jer je (∃!x)(x + x = 1) dokazivo u toj teoriji. Dakle, u teoriji polja 1/2 + 1/2 = 1 definira konstantu 1/2.
S druge strane, u teoriji polja, forma
x = √2 ↔ x ∙ x = 2
ne definira √2 jer (∃!x)(x ∙ x = 2) nije dokazivo u toj teoriji. Dakle, √2 ∙ √2 = 2 u teoriji polja ne definira konstantu √2.
Lako je dokazati da implicitne definicije konstanti zadovoljavaju kriterije Lesniewskog.
TEOREM O IMPLICITNIM DEFINICIJAMA KONSTANTI
Implicitne definicije konstanti su eliminabilne i nekreativne.
Najprije dokazujemo eliminabilnost:
Svaka forma A(c) logički je ekvivalentna formi (∀x)(x = c → A(x)). No, iz x = c ↔ C(x) slijedi da je to ekvivalentno s (∀x)(C(x) → A(x)). Stoga je dokazivo
(x = c ↔ C(x)) → (A(c) ↔ (∀x)(C(x) → A(x)))
što smo i trebali dokazati. Slijedi dokaz nekreativnosti:
Pretpostavimo da je dokazivo (C(c) ∧ (C(x) → x = c)) → F. Iz (∃!x)C(x) slijedi da je dokazivo i (C(c) ∧ (C(x) → x = c)) ↔ C(c) pa stoga i C(c) → F. Budući da se c ne pojavljuje u F dokazivo je i (∃x)C(x) → F (to je osnovno pravilo logike predikata). Slijedi da je dokazivo i (∃!x)C(x) → F. Ali (∃!x)C(x) je dokazivo prema 3. ograničenju pa je dokazivo i F što smo trebali dokazati.
Nešto je općenitija implicitna definicija operacije (konstante su 0-mjesne operacije).
IMPLICITNA DEFINICIJA OPERACIJE
U nekoj teoriji implicitna definicija n-mjesne operacije o(x1,…,xn) je ekvivalencija oblika
x = o(x1,…,xn) ↔ O(x),
sa sljedećim ograničenjima:
Uočite da je forma x = o(x1,…,xn) ↔ O(x) dokazivo ekvivalentna formi O(o(x1,…,xn)) ∧ (O(x) → x = o(x1,…,xn)). S obzirom na dokazivost forme (∃!x)O(x) to je dokazivo ekvivalentno s O(o(x1,…,xn)). Dakle, u prisutnosti 3. ograničenja O(o(x1,…,xn)) je implicitna definicija operacije o(x1,…,xn).
Na primjer, u teoriji polja, forma
x = x1 – x2 ↔ x1 = x + x2
uspješno definira x1 – x2 jer je (∃!x)(x1 = x + x2) dokazivo u toj teoriji. S druge strane, forma
x = √x1 ↔ x ∙ x = x1
ne definira √x1 jer (∃!x)(x ∙ x = x1) nije dokazivo u toj teoriji.
Lako je dokazati da implicitne definicije operacija zadovoljavaju kriterije Lesniewskog.
TEOREM O IMPLICITNIM DEFINICIJAMA OPERACIJA
Implicitne definicije operacija su eliminabilne i nekreativne.
Dokaz je gotovo jednak dokazu za konstante. Najprije dokazujemo eliminabilnost:
Svaka formula A(o(x1,…,xn)) koja sadrži o(x1,…,xn) logički je ekvivalentna formuli (∀x)(x = o(x1,…,xn) → A(x)). Iz x = o(x1,…,xn) ↔ O(x) slijedi da je to ekvivalentno s (∀x)(O(x) → A(x)). Stoga je dokazivo
(x = o(x1,…,xn) ↔ O(x)) → (A(o(x1,…,xn)) ↔ (∀x)(O(x) → A(x)))
što smo i trebali dokazati. Slijedi dokaz nekreativnosti:
Pretpostavimo da je dokazivo O(o(x1,…,xn)) ∧ (O(x) → x = o(x1,…,xn)) → F. Iz (∃!x)O(x) slijedi da je O(o(x1,…,xn)) ∧ (O(x) → x = o(x1,…,xn)) ↔ O(o(x1,…,xn)) pa je dokazivo i O(o(x1,…,xn)) → F. Ako se o ne pojavljuje u F dokazivo je i (∃x)O(x) → F pa slijedi da je dokazivo i (∃!x)O(x) → F. Ali (∃!x)O(x) je dokazivo zbog 3. ograničenja pa je dokazivo i F, što smo i trebali dokazati.
Ponekad su nam potrebne uvjetne implicitne definicije. Na primjer, operaciju dijeljenja ÷ ne možemo definirati implicitnom “definicijom”
x = x1 ÷ x2 ↔ x1 = x ∙ x2
jer za x2 = 0 svaki x zadovoljava x1 = x ∙ x2. Ali ovo je jedini problematični slučaj pa ako ga isključimo, postavljajući uvjet x2 ≠ 0, imat ćemo korektnu uvjetnu definiciju
x2 ≠ 0 → (x = x1 ÷ x2 ↔ x1 = x ∙ x2)
Općenito imamo:
UVJETNA IMPLICITNA DEFINICIJA OPERACIJE
U nekoj teoriji uvjetna implicitna definicija n-mjesne operacije o(x1,…,xn) je ekvivalencija oblika
C(x1,…,xn) → (x = o(x1,…,xn) ↔ O(x))
sa sljedećim ograničenjima:
Ako je uvjet C(x1,…,xn) zadovoljen lako je dokazati da uvjetna implicitna definicija operacije zadovoljava kriterije Lesniewskog. Dokaz je potpuno isti kao u prethodnom teoremu. Ali ako uvjet C(x1,…,xn) nije zadovoljeno, značenje od o(x1,…,xn) nije jasno.
Na primjer, koje je značenje izraza 1/0 u aritmetici racionalnih brojeva? Označava li on nešto? Je li 1/0 = 2/0 istinito, neistinito ili nijedno od toga?
Matematičari odgovaraju:
Izraz 1/0 ne označava ništa, a 1/0 = 2/0 nije ni istinito ni neistinito, nego je besmisleno.
Logičari odgovaraju:
Svaka konstanta označava i svaka je rečenica istinita ili neistinita. Nadalje, za svaku n-mjesnu operaciju o i za svaki slog konstanti c1,…,cn, postoji term o(c1,…,cn) koji nešto označava i za svaka dva terma t1 i t2 rečenica t1 = t2 je smislena (dakle istinita ili neistinita). To su pretpostavke klasične logike. Dakle, u aritmetici racionalnih brojeva simbol 1/0 bi trebao nešto označavati, a 1/0 = 2/0 bi trebalo biti istinito ili neistinito.
(Matematičari obično nisu svjesni da revidiraju klasičnu logiku kada izjavljuju da postoje pojmovi koji ne označavaju i rečenice koje nisu ni istinite ni neistinite.)
Nakon toga logičari se razilaze.
Ponekad postuliraju da je npr. x/0 = 0. Ovo je značenje po konvenciji i prema toj konvenciji 1/0 = 2/0 je istinito. Prednost ovog pristupa je u tome što on ne zahtijeva formalne promjene u teoriji.
Ponekad uvode novi objekt i proglašavaju da je x/0 = ∞. Nedostatak ovog pristupa je to što on zahtijeva formalne promjene u teoriji. Sada teorija ima dvije vrste objekata: racionalne brojeve i ∞. Trebali bismo proširiti teoriju s predikatom Q (biti racionalan broj) i uvesti novi aksiom –Q(∞). Također bismo trebali svaku formu o racionalnim brojevima x, …, y prefiksirati s Q(x, …, y) → . Alternativno možemo uvesti dvije vrste varijabli.
Ponekad logičari postuliraju da 1/0 označava, ali da nije odlučivo što označava. To implicira da su rečenice koje sadrže 1/0 istinite ili neistinite, ali da se ne može odlučiti što su od toga dvoga.
Logičari ponekad svode operacije na relacije, što je uvijek moguće, ali je vrlo nezgrapno. Još ćemo malo istražiti ovaj pristup.
Umjesto konstanti npr. 0 i 1 uvodimo 1-mjesne predikate N i J, a umjesto formula A(0) i A(1) koristimo formule N(x) → A(x), J(x) → A(x) itd.
Umjesto npr. dvomjesnih operacija + i ∙ uvodimo tromjesne predikate S(x, y, z) i M(x, y, z), a umjesto formula A(x + y) i A(x ∙ y) koristimo formule S(x, y, z) → A(z) i M(x, y, z) → A(z) itd.
Sada dijeljenje možemo definirati na sljedeći način,
D(x, y, z) ↔ –N(y) ∧ M(y, z, x).
Mogli bi se pitati zašto nema problema s ovom relacijskom definicijom, a postoji problem s analognom operativnom definicijom,
x/y = z ↔ y ≠ 0 ∧ y ∙ z = x.
Razlika je u tome što (operacijski konstruirani) zatvoreni termi uvijek označavaju, dok (relacijski konstruirane) zatvorene formule ne moraju uvijek biti istinite. Na primjer,
D(1, 0, z) ↔ –N(0) ∧ M(0, z, 1)
implicira da je D(1, 0, z) neistinito, za bilo koji z, i to nije problem. S druge strane,
1/0 = z ↔ 0 ≠ 0 ∧ 0 ∙ z = 1
također implicira da je 1/0 = z neistinito, za bilo koji z, ali to je problem. Naime, to znači da 1/0 ne označava. Ali svaki zatvoreni term treba označavati.
Ako mislite da to nije veliki problem razmislite o logičkom pravilu za uvođenje egzistencijalnog kvantifikatora: A(t) → (∃z)A(z). Ono implicira t = t → (∃z)(z = t) što zajedno s logičkom istinom t = t implicira (∃z)(z = t). Dakle, ako prihvaćate da postoji neoznačavajući term t, npr. -(∃z)(z = 1/0), onda biste trebali odbaciti logičko pravilo za uvođenje egzistencijalnog kvantifikatora.
Spomenimo još implicitne definicije relacija koje do sada nismo razmatrali.
IMPLICITNA DEFINICIJA RELACIJE
U nekoj teoriji implicitna definicija n-mjesne relacije R(x1,…,xn) je forma DR sa sljedećim ograničenjima:
Poznati Bethov teorem dokazuje da su implicitne definicije relacija zapravo suvišne.
BETHOV TEOREM
Relacija R(x1,…,xn) je implicitno definabilna u nekoj teoriji akko je ona u toj teoriji i eksplicitno definabilna.
Mi smo definicije uveli kao forme koje utvrđuju značenje pojmova povezujući definiendume (pojmove koji se definiraju) s definiensima (pojmovima koji ih definiraju). Te su forme istinite “per definitionem” (po definiciji), tj. postulirane su istine. Ono što ih razlikuje od aksioma (druge vrste postuliranih istina) je to što su one eliminabilne i nekreativne.
Dakle, možemo reći da su definicije eliminabilni, nekreativni aksiomi.
Moguće je da neki primitivni pojam bude implicitno definiran uz pomoć drugih primitivnih pojmova, tj. da su aksiomi u kojima se on pojavljuje eliminabilni i nekreativni. Ako to nije slučaj onda kažemo da je taj primitivni pojam neovisan o drugima. To nije lako dokazati izravno, ali se može relativno lako dokazati neizravno, upotrebom Padoine metode.
PADOINA METODA
Da bi se u nekoj teoriji dokazalo da je neki primitivni pojam neovisan o drugim primitivnim pojmovima, dovoljno je konstruirati dvije interpretacije aksioma te teorije tako da je dani pojam (ekstenzijom) različit u tim interpretacijama, dok su svi drugi pojmovi (ekstenzijom) jednaki u obje interpretacije. Naravno, tada domena tih interpretacija mora biti ista.
Na primjer, u teoriji polja, množenje ∙ je neovisno o drugim primitivnim pojmovima +, 0 i 1. Dvije Padoine interpretacije koje to dokazuju su obično polje kompleksnih brojeva (C, +, , 0, 1) i polje (C, +, , 0, 1) u kojem je (brojevi i su konjugirani brojevima x i y).
Padoa nije dokazao ispravnost svoje metode. Za njega i mnoge druge ona je očito ispravna. No, koristeći se Bethovim teoremom to možemo lako dokazati, npr. za relacije. Pretpostavimo, dakle, da je relacija R(x1,…,xn) definirana u teoriji. Tada je ona i eksplicitno definirana pomoću neke eksplicitne definicije
R(x1,…,xn) ↔ D,
u kojoj D ne sadrži R, nego samo druge primitivne pojmove. Zbog te ekvivalencije, ako postoje dvije interpretacije koje se podudaraju na drugim primitivnim pojmovima, one se moraju podudarati i na R.
U svakoj pojedinoj interpretaciji formalizirane matematičke teorije, definicije jedinstveno određuju ekstenzije definiranih pojmova u toj interpretaciji. S druge strane, aksiomi te teorije mogu imati različite interpretacije i uobičajeno je razmišljati o aksiomima kao o definicijama tih interpretacija koje obično zovemo modelima te teorije.
Dakle, treba jasno razlikovati definicije u modelima od definicija samih modela. U ovom poglavlju se uglavnom bavimo definicijama u modelima dok se standardna logika (osobito teorija modela) uglavnom bavi definicijama samih modela. Na primjer, Peanovi aksiomi prvog reda:
(A0) ∀x(s(x) ≠ 0)
(As) ∀x∀y(x ≠ y → s(x) ≠ s(y)).
(A+0) ∀x(x + 0 = x)
(A+s) ∀x∀y(x + s(y) = s(x + y))
(A∙0) ∀x(x ∙ 0 = 0)
(A∙s) ∀x∀y(x ∙ s(y) = (x ∙ y) + x)
(SAI) P(0) ∧ (∀x)(P(x) → P(s(x))) → (∀x)P(x)
definiraju klasu svojih modela. Ona uključuje standardni model prirodnih brojeva, ali i sve nestandardne modele.
S druge strane, ponekad se misli da (A + 0) i (A + s) definiraju zbrajanje u svakom pojedinom modelu koji je definiran aksiomima (A0), (As) i (SAI). To nije točno, jer iz (A0), (As) i (SAI) ne slijedi da postoji jedinstvena funkcija + koja zadovoljava (A + 0) i (A + s). To možemo dokazati pomoću Padoine metode. Naime, u nestandardnim modelima koji su definirani aksiomima (A0), (As) i (SAI) moguće je definirati dvije različite interpretacije operacije +, koje zadovoljavaju (A + 0) i (A + s), na sljedeći način: interpretacije se podudaraju na standardnom dijelu (što je početak svakog nestandardnog modela), a na nestandardnom dijelu se jedan x + y može promijeniti u drugi s(x) + y bez kršenja (A + s). Na isti način možemo dokazati da (A ∙ 0) i (A ∙ s) ne definiraju množenje u modelu od (A0), (As), (SAI), (A + 0) i (A + s).
Naravno, (A + 0) i (A + s) definiraju zbrajanje u modelu od (A0), (As) i
(AI) ∀Y(0 ∈ Y ∧ ∀x(x ∈ Y → s(x) ∈ Y) → ∀xY(x)),
unutar neke uobičajene teorije skupova (npr. ZFC) koja aksiomatizira relaciju ∈. Naime, u modelu (, 0, s) koji definiraju ova tri aksioma i uobičajeni aksiomi teorije skupova možemo definirati
Amin = ∩{A : A ⊆ 3 ∧ (x, 0, x) ∈ A ∧ (x, y, z) ∈ A → (x, s(y), s(z)) ∈ A}.
Koristeći (A0), (As) i (SAI) lako je dokazati da je (∀x, y ∈ )(∃!z ∈ )(x, y, z) ∈ Amin, tj. Amin je jedinstveni funkcija x, y → z koja zadovoljava (A + 0) i (A + s).
Na isti način, u danoj teoriji skupova (npr. ZFC), možemo dokazati da (A ∙ 0) i (A ∙ s) definiraju množenje u svakom modelu od (A0), (As), (AI), (A + 0) i (A + s).
Dakle, rekurzivne definicije zbrajanja (tj. (A ∙ 0) i (A ∙ s)) i množenja (tj. (A ∙ 0) i (A ∙ s)) nisu definicije u aritmetici prvog reda (onoj sa shemom aksioma indukcije prvog reda SAI), ali jesu u teoriji skupova (onoj s aksiomom indukcije drugog reda (AI) i odgovarajućim aksiomima teorije skupova).
Što se tiče definicija u modelima, naspram definicija samih modela, možemo na kraju dodati da svaku definiciju modela možemo shvatiti kao definicija u modelu, ako je shvatimo kao definiciju u aksiomatskoj teoriji skupova (npr. u ZFC-u), jer su modeli objekti aksiomatske teorije skupova. U svakom slučaju, to je način na koji shvaćamo matematičke teorije. Na primjer, kada govorimo o teoriji grupa, ne govorimo o teoriji prvog reda s aksiomima (ab)c = a(bc), ae = ea = a, aa-1 = a-1a = e, već o ovim aksiomima dodanim nekoj teoriji skupova (samo na prvih nekoliko stranica udžbenika teorije grupa koristimo samo te aksiome bez ikakve teorije skupova).
Valja upozoriti da se formalne matematičke definicije o kojima smo do sada govorili jako razlikuju od svakodnevnih neformalnih definicija. Matematičke definicije su stipulirane, preskriptivne i trivijalno istinite. Svakodnevne neformalne definicije su ekstrahirane, deskriptivne i mogu biti istinite ili lažne.
Svakodnevne definicije pojmova ekstrahiraju se iz njihove stvarne uporabe, dok matematičke definicije stipuliraju tu uporabu. Svakodnevne definicije opisuju što se obično misli pod definiranim pojmom, matematičke definicije propisuju što će se pod njim misliti. Svakodnevne definicije su istinite ako vjerno opisuju upotrebu iz koje su ekstrahirane, a neistinite su ako to ne čine. Matematičke definicije su uvijek, per definitionem, istinite.
Jednostavna je kognitivna činjenica da pojmove (najčešće) učimo korištenjem, a ne definicijama. Znamo što je stolica, iako je ne znamo definirati. Ako pojam stolice ikad pokušamo definirati, biti će to tek nakon što smo se s njim dovoljno dobro upoznali upotrebljavajući ga. Na taj način ne usvajamo stipulirane pojmove.
To je glavni razlog zašto definicije stvaraju probleme pri učenju matematike. Učitelji matematike pretpostavljaju da se matematički pojmovi usvajaju pomoću njihovih definicija i da će se učenici koristiti tim definicijama za rješavanje problema i dokazivanje teorema. No mnogi će učenici zanemarivati definicije matematičkih pojmova, jer se njihovo svakodnevno razumijevanje pojmova temelji na iskustvima s njihovim paradigmatskih slučajevima i njihovom svakodnevnom uporabom, a ne na definicijama tih pojmova.
Na primjer, koncept stolice evocira sliku tipične stolice, iskustvo sjedenja na stolici itd. Takva konceptualna slika je neophodna i dovoljna za uspješnu upotrebu pojma stolice. Učenici su skloni ovu uspješnu kognitivnu strategiju prenijeti i na matematičke pojmove. Na primjer, koncept zatvorene ravninske krivulje može evocirati sliku tipične srednjoškolske krivulje (npr. kruga, elipse itd.), iskustvo rješavanja problema s ovim tipičnim primjerima itd. Takva konceptualna slika neophodna je za razumijevanje bilo kojeg pojma (možemo čak reći da je posjedovanje takve konceptualne slike nekog pojma glavni dio razumijevanja tog pojma). Ali ova konceptualna slika nije dovoljna da se dokaže npr. Jordanov teorem. Da biste ga dokazali, morate upotrijebiti definiciju zatvorene ravninske krivulje.
Dakle, matematičke situacije od učenika zahtijevaju stjecanje kognitivnih strategija koje su potpuno drugačije od onih koje su uspješne u svakodnevnim situacijama. Razumno je očekivati da će svakodnevne kognitivne strategije nadvladati “neprirodne” matematičke strategije. Osobito na početku studija matematike, a još više ako studenti nisu upozoreni na tu razliku. Zajedničko iskustvo mnogih nastavnika matematike je da “njihovi učenici ignoriraju teoriju i obraćaju pažnju samo na zadatke”. To je jasna manifestacija preferiranja svakodnevne strategije u odnosu na matematičku. Kako bismo promicali matematičku strategiju, trebali bismo učenicima dati eksplicitne upute o ovoj razlici.
No, je li doista istina da su matematičke definicije stipulirane, preskriptivne i trivijalno istinite? Vrlo kratak odgovor je: u formalnoj prezentaciji matematičkih teorija jesu, u stvarnoj povijesti matematičkih teorija nisu. Naime, stipulativni i preskriptivni karakter matematičkih definicija ne može objasniti povijesnu činjenicu da matematičari mnoge pojmove koriste čak i stoljećima prije nego što ih konačno definiraju.
Na primjer, Fermat se implicitno koristio našim pojmom derivacije, Newton i Leibniz su ga otkrili, Euler ga je razvio, Lagrange ga je imenovao i tek na kraju ovog dugog razdoblja Cauchy i Weierstrass su ga definirali. A konačna definicija, između ostalog, bila je pokušaj da se opiše konceptualna slika koju su razvila ranija razdoblja. Drugi primjer opisuje Lakatosova knjiga „Dokazi i opovrgavanja“ u kojoj je prikazana povijest potrage za „pravom“ definicijom poliedra.
Slično tome, (definicijska) istinitost matematičkih definicija ne može objasniti povijesnu činjenicu da matematičari često predlažu definicije koje se kasnije pokažu pogrešnima. Na primjer, Jordan je 1887. definirao kontinuiranu krivulju kao kontinuiranu sliku jediničnog intervala (što je, naravno, bio opis orbite točke koja se kontinuirano kreće). Ali kada je Peano 1890. dokazao da postoji Jordanova kontinuirana krivulja koja prolazi kroz svaku točku kvadrata, Jordanova definicija je odbačena kao pogrešna. Razlog je taj što je 1-dimenzionalnost krivulja ključni dio naše konceptualne slike o krivuljama koju želimo poštivati pri definiciji krivulje.
S druge strane, kada matematičari konačno odluče kakva bi trebala biti definicija nekog pojma, ona nikada nije u potpunosti vjerna konceptualnoj slici koju je stvorila bogata povijest toga pojma. Kao što je Nietzsche istaknuo 1887. definabilno je samo ono što nema povijest (definierbar ist nur Das, was keine Geschichte has).
Na primjer, matematičari definiraju kontinuiranost funkcije u točki na uobičajeni ε, δ – način. Kontinuitet u skupu točaka tada se definira kao kontinuitet u svim točkama tog skupa. Prema toj definiciji, konstantna funkcija definirana na racionalnim brojevima je kontinuirana na svojoj domeni. Naravno, u našoj pojmovnoj slici kontinuiteta ova funkcija je potpuno diskontinuirana, jer je skup racionalnih brojeva na kojima je definirana potpuno diskontinuiran. Ali naša stipulirana definicija kontinuiteta funkcije ne uključuje kontinuitet njene domene kao preduvjet za kontinuitet funkcije (iako je to dio naše konceptualne slike kontinuiteta).
Još jednostavniji je primjer funkcije f (x) = 1/x koja je kontinuirana na svojoj domeni definicije, iako “vidimo” jasan diskontinuitet u 0. Taj sukob između definicija pojmova i njihove konceptualne slike još je jedna prepreka za učenje matematike (i na to učenike treba upozoriti kako bi to mogli prevladati).
28. ožujka 2026. / čita se 24 minute
ŠTO JE LOGIKA (9)
U devetom nastavku serijala o logici, Zvonimir Šikić pokazuje kako aksiomi prvog reda ne mogu jednoznačno odrediti beskonačne matematičke strukture. Zbog tog ograničenja, poznati sustavi poput aritmetike, realnih brojeva i teorije skupova neizbježno imaju i svoje nestandardne modele.
18. studenoga 2025. / čita se 14 minuta
ŠTO JE LOGIKA (8)
U 8. nastavku serijala o logici, Zvonimir Šikić se bavi interpretacijama kvantificiranih formi, kroz koje one dobivaju svoje značenje. Korak po korak uvodi relacijske strukture i pojam istinitosti forme u strukturi, te preko generalizirane implikacije i Bethovih semantičkih stabala dolazi do potpunosti Gentzenovog sekventnog Q-sustava za logiku predikata.
11. rujna 2025. / čita se 15 minuta
POVIJEST LOGIKE (7)
U razradi apstrakata i kvantifikacije, Zvonimir Šikić pokazuje kako se složene tvrdnje prevode u predikatske forme, uvodi pravila prolaza kvantifikatora te dokazuje ekvivalentnost i odlučivost monadske logike, dok ističe da su poliadski predikati izražajniji i da redoslijed kvantifikatora tada postaje presudan.