O kontinuitetu znanosti. Napredak kao gradnja Neurathovog broda.

• Naslovna ilustracija: Neurathov brod (AI)

1. Kontinuitet ili diskontinuitet znanosti

Vigovska povijest predstavlja prošlost kao linearni progres prema modernosti. Ona implicira da su suvremene ideje i vrijednosti neminovni rezultat povijesnog razvoja. Ta često osporavana perspektiva ipak je relevantna za povijest znanosti, jer nudi dosljedan narativ koji povezuje prošli razvoj sa sadašnjim znanjem. To onima koje zanima suvremena znanost olakšava da se, kroz evoluciju njenih koncepata i ideja, s tom znanosti još bolje upoznaju. Zato je vigovska povijest znanosti posebno važna u obrazovanju (opširnije o tome u [Š1]).

Vigovsko inzistiranje na kontinuiranom razvoju znanosti u oštroj je opreci s Kuhnovom tezom da je razvoj znanosti obilježen diskontinuitetima. U toj radikalno protu vigovskoj teoriji, što je veći diskontinuitet to je veći napredak. Prošla znanja su irelevantna za nove teorije. One su nadahnuta nagađanja (koja, kao kod Poppera, priznajemo samo do prvog eksperimentalnog opovrgavanja).

Nasuprot Kuhnu vigovci razumiju da se nova znanost gradi na staroj te da njezini kumulativni aspekti daleko nadmašuju Kuhnove diskontinuitete (otkrili smo da je Zemlja približno sferna i to više nećemo odbaciti, niti ćemo od-naučiti da živa bića na Zemlji imaju zajedničke pretke). Stare teorije nisu nepovratno uništene novima. One se integriraju i bolje razumiju unutar nove perspektive.

Na primjer, Einsteinova teorija relativnosti opovrgava Newtonovu fiziku. Ipak, Newtonova se fizika podudara s Einsteinovom u domeni pojava koje uključuje većinu našeg iskustva. Tek naša precizna opažanja (na primjer precesije Merkura) otkrivaju neslaganje. To ne umanjuje praktičnu i konceptualnu vrijednost Newtonove teorije i zato je njen odnos spram Einsteinove teorije najčešće detaljno opisan u priručnicima teorije relativnosti: ako ograničimo Einsteinovu teoriju na određenu domenu pojava (male relativne brzine i slabo gravitacijsko polje), dobivamo Newtonovu teoriju. Razumijevanje ove aproksimacije važan je dio teorijske fizike.

Dakle, nove se teorije oslanjaju na stare, obnavljajući i preuređujući njihovu konceptualnu strukturu kao Neurathov brod koji mornari na pučini obnavljaju dasku po dasku, bez mogućnosti da ga ikada potpuno rastave i od temelja iznova izgrade.

Ovaj pogled na razvoj znanosti kao da zahtijeva da o prošlim teorijama govorimo u modernim terminima. Naravno, ne zato što bi to povijesni prikaz činilo autentičnijim. Povijesnog Newtona ne razumijemo bolje objašnjavajući da je djelovanje na daljinu aproksimacija koja zanemaruje konačnu brzinu širenje gravitacijskog polja. Ali zato povijesni izvor Einsteinove teorije razumijemo bolje, ako objasnimo tu aproksimaciju.

Opisani kontinuitet fizikalnih teorija od Newtona do naših dana među fizičarima je opće prihvaćen. Međutim, diskontinuitet između Aristotelove fizike i matematizirane moderne fizike i dalje je uporište iza kojeg su ušančeni mnogi kunovski protuvigovci.

2. Aristotelova fizika kao aproksimacija Newtonove

Aristotelova fizika zaslužuje da je razumijemo kao značajnu teorijsku fiziku. Njeno je glavno ograničenje da nije matematička. Aristotel nije usvojio Pitagorinu vizionarsku vjeru u moć matematike iz koje se razvila Aleksandrijska matematička astronomija. Ali Aristotel je uspio izgraditi moćnu fiziku Zemlje koja je temelj kasnije izgradnje. Galileo je shvatio da tu nedostaju pojam ubrzanja i matematička argumentacija, ali njegov glavni sugovornik ipak je bio Aristotel. Ne zato što je Aristotel bio glupa dogma protiv koje se trebalo pobuniti, već zato što je Aristotel bio najbolje što je tri tisućljeća civilizacije proizvelo na ovom polju.

U nastojanju da pobijedi diva, Galileo je kao veliki majstor propagande učinio sve da ismije njegove ideje. Iz toga je proizašao loš glas Aristotelove fizike. Ipak, Galileo prepoznaje vrijednost svojeg protivnika. On opetovano upozorava da Aristotel modificira svoj stav u svjetlu novih empirijskih uvida te da se obračunava sa suvremenim “aristotelovcima”, a ne sa samim Aristotelom. U više Galileovih dijaloga jedan od likova jest aristotelovac čije ideje on oštro kritizira, ali te ideje su tlo s kojeg počinje njegova fizika. Galileova borba s Aristotelom slična je borbi Kopernika s Ptolemejom, Newtona s Descartesom ili Einsteina s Newtonom i Aristotel jest dio povijesti koja nas je dovela do sadašnjosti.

Ova zadnja tvrdnja za mnoge je još uvijek upitna, jer smatraju da je Aristotelova fizika u bitnom diskontinuitetu s Newtonovom i da je očito pogrešna. Na primjer, ona tvrdi da teži predmeti padaju brže, iako svi lako vidimo da padaju istom brzinom. (Vidimo li?) Naravno, postoje i manje neprijateljski prikazi Aristotelove fizike, koji prepoznaju njenu povijesnu važnost, ali i oni najčešće tvrde da ona nije znanost ili je neuspješna, u onoj mjeri u kojoj jest znanost. Nasuprot tome, Rovelli u [R] dokazuje da je Aristotelova fizika ispravna u svojoj domeni valjanosti, u istom smislu u kojem je Newtonova fizika ispravna u svojoj domeni. U tu svrhu on je u Newtonovoj teoriji formulirao i izveo Aristotelovu fiziku, kao aproksimaciju Newtonove, kao što se za Newtonovu teoriju to standardno čini u Einsteinovoj teoriji.

3. Kratki prikaz Aristotelove fizike

U Aristotelovoj fizici postoje dvije vrste gibanja, prirodno gibanje i nasilno (protuprirodno) gibanje. Prirodno gibanje je gibanje tijela prepuštenih samima sebi, dok je nasilno gibanje uzrokovano vanjskim uzročnikom (npr. bacanje kamena je uzrok njegovog nasilnog gibanja). Osim toga, nasilno gibanje prestaje kad prestane djelovanje vanjskog uzročnika.

Za opis prirodnog gibanja potrebno nam je malo Aristotelove kozmologije. Kozmos je mješavina četiriju elemenata, zemlje, vode, zraka i vatre te petog elementa, etera. Zemlja ima sferni oblik i okružena je sfernom ljuskom vode, kojoj slijedi sferna ljuska zraka i zatim vatre. Sve je to uronjeno u nebesku ljusku etera, kojom se kreću Sunce, Mjesec i zvijezde. Kozmos je konačan, ali mnogo veći od Zemlje koja je reda veličine 400 tisuća stadija (što je iznenađujuće točna procjena).

Prirodno je gibanje određeno strukturom kozmosa i različito je, ovisno o tome radi li se o gibanju etera ili o gibanju preostala četiri elementa. Prirodno gibanje etera je kružno oko središta kozmosa. Prirodno gibanje zemlje, vode, zraka i vatre je okomito na Zemlju i vodi te elemente prema njihovom prirodnom mjestu.

(Aristotel opažanjem potvrđuje Empedoklov izbor četiriju elemenata. Kad bi sve padalo prema dolje, bio bi potreban samo jedan element; ali neke stvari, poput vatre, kreću se prema gore. Kad bi postojale samo stvari koje se kreću prema gore (poput vatre) ili prema dolje (poput zemlje), dva bi elementa bile dovoljna: jedan s prirodnom tendencijom kretanja prema gore i jedan s prirodnom tendencijom kretanja prema dolje. Ali opažanje nas uči da postoje stvari koje se kreću prema gore u jednom mediju, a prema dolje u drugom; zrak se diže u vodi, ali ga vatra potiskuje dolje; drvo u zraku pada, ali se u vodi diže. To zahtijeva složeniju teoriju s barem četiri elementa.)

Primijetimo još da, suprotno onome što se često tvrdi, razlika između prirodnog i nasilnog gibanja opstaje i u Newtonovoj fizici. Njegova prva dva zakona naglašavaju ovu razliku. Prirodno gibanje tijela, u kojem na njega ništa ne djeluje, pravocrtno je i jednoliko. Nasilno gibanje, tj. gibanje pod djelovanjem sile, ubrzano je. Dvije se teorije razlikuju u identifikaciji “prirodnog” gibanja (pravocrtno jednoliko kod Newtona, okomito ili kružno kod Aristotela) i u učinku uzročnika (koji uzrokuje ubrzanje u Newtonovoj fizici, a samo pomak u Aristotelovoj). Ipak, temeljna Newtonova razlika: inercijalno naspram prisilnog gibanja preuzeta je iz Aristotelove razlike: prirodno naspram nasilnog gibanja.

Aristotel opaža da je isto tijelo u gušćem mediju sporije nego u rjeđem i da je u istom mediju teže tijelo brže od lakšeg. To ga vodi do kvantitativnog opisa koji bismo danas formulirali kao

$v = c \frac{T}{\rho}$

gdje je $T$ težina tijela, $\rho$ gustoća medija, a konstanta $c$ ovisi o obliku i veličini tijela. Iako Aristotel to formulira geometrijski, to mu je jedna od rijetkih kvantitativnih formulacija.

(Kontekst u kojem se Aristotel bavi ovim odnosima je rasprava o vakuumu. Prethodna formula implicira da bi se u vakuumu, čija je gustoća 0, tijelo gibalo beskonačnom brzinom, i time Aristotel negira postojanje vakuuma. Dodajmo, da u jednom svom ranom dijalogu Galileo želi izbjeći ovaj zaključak tako da $v = c \frac{T}{\rho}$ zamjeni s $v = cT – \rho$. Time izbjegava beskonačnu brzinu u vakuumu, ali ta ovisnost nema smisla ni na razini dimenzija.)

4. Dokaz da je Aristotelova fizika aproksimacija Newtonove

Vratimo se osnovnoj tezi: Aristotelova fizika je ispravna aproksimacija Newtonove fizike u domeni svakodnevnog ljudskog djelovanja. Ovu domenu, osim glavnih nebeskih tijela vidljivih sa Zemlje, čine tijela u Zemljinom gravitacijskom polju, koja su uronjena u zrak ili vodu. Ta uronjenost ključna je za razumijevanje Aristotelove fizike u modernim terminima, što zanemaruje većina njegovih kritičara. (Danas je čudno da prva fizika bude fizika fluida. Ali nekome tko nije prošao modernu školu, to nije čudno, jer je sve oko nas uronjeno u fluid, bilo u zrak bilo u vodu.)

Za Aristotela se Nebo i Zemlja bitno razlikuju. Počnimo od Zemlje. Zanima nas gibanje tijela na površini Zemlje, kako u vodi tako i izvan vode, u zraku. Ono je u Newtonovoj fizici opisano jednadžbom $\vec{F} = m\vec{a}$, gdje je $m$ masa tijela, a $\vec{a}$ njegova akceleracija.

Sila $\vec{F}$ koja djeluje na tijelo sastoji se od različitih komponenti:

$\vec{F} = -G \frac{mM}{r^2} \vec{r}_0 + V\rho \vec{r}_0 – C\rho v\vec{v} + \vec{F}_n$

Prvi član je sila Zemljine gravitacije. Budući da je raspon varijabilnosti $r$ mali za tijela na površini Zemlje, ovaj član možemo aproksimirati s

$-G \frac{mM}{r^2} \vec{r}_0 \approx -mg \vec{r}_0$

Drugi član je sila uzgona; $V$ je volumen tijela, a $\rho$ je gustoća fluida (vode ili zraka). Treći član je sila otpora fluida u koji je tijelo uronjeno; $v$ je brzina tijela, a $C$ je koeficijent koji ovisi o veličini i obliku tijela. Posljednji član je zbroj svih sila koje potječu od nametnutih uzročnika. Odsutnost ovog posljednjeg člana je definicija Aristotelovog “prirodnog” gibanja.

Dakle, jednadžba prirodnog gibanja s početnom brzinom 0, u samom početku gibanja, je

$m\vec{a} = -mg\vec{r}_0 + V\rho\vec{r}_0 = (V(\rho – \rho_t)) \vec{r}_0$

gdje je $\rho_t = \frac{mg}{V}$ gustoća tijela. Iz jednadžbe očito slijedi da će se tijelo početno kretati prema gore ili dolje, ovisno o tome je li $\rho – \rho_t$ manje ili veće od 0, tj. o tome je li gustoća tijela $\rho_t$ veća ili manja od gustoće fluida $\rho$ u koji je ono uronjeno. Dakle, zemlja će se početno kretati prema dolje u svakom slučaju. Voda će se početno kretati prema dolje u zraku. Zrak će se početno kretati prema gore u vodi. Tijela koja imaju specifičnu težinu između vode i zraka (poput drva) početno će se kretati prema gore u vodi i prema dolje u zraku, i tako dalje. Iz jednadžbe očito slijedi i to da će tijelo uronjeno u tvar iste vrste (na primjer voda u vodu) mirovati na svom prirodnom mjestu, jer je tada $\rho – \rho_t$ = 0. Dakle, Aristotelov opis prirodnih gibanja u skladu je s Newtonovim.

Razmotrimo sada potpuno prirodno gibanje tijela, a ne samo njegov početak. Njime ravna jednadžba:

$m\vec{a} = -mg \vec{r}_0 + V\rho \vec{r}_0 – C\rho v\vec{v}$

Pretpostavimo li da je tijelo početno u mirovanju, imamo diferencijalnu jednadžbu:

$m \frac{dv}{dt} = -mg – V\rho – C\rho v^2$

Njeno rješenje je:

$v(t) = \sqrt{\frac{mg – V\rho}{C\rho}} \tanh\left( \sqrt{\frac{mg – V\rho}{C\rho m^2}} t \right)$

Za velike $t$ tangens hiperbolni teži jedinici. Stoga je karakteristika ovog rješenja da gibanje tijela ima dva režima: prvu (prijelaznu) fazu u kojoj tijelo ubrzava, a zatim drugu fazu u kojoj se jednoliko giba stacionarnom brzinom:

$v_{st} = \sqrt{\frac{mg – V\rho}{C\rho}}$

Vrijeme trajanja prve faze određeno je karakterističnim vremenom sustava:

$\tau = \frac{m}{\sqrt{(mg – V\rho)C\rho}}$

Na primjer, $v(\tau) = \tanh(1) \cdot v_{st} = 0.76 v_{st}$ dok je $v(3\tau) = \tanh(3) \cdot v_{st} = 0.995 v_{st}$. To znači da je za $t > 3\tau$ sustav praktički u stacionarnom stanju.

Za mali $\tau$ (npr. kada je tijelo lagano, a otpor velik) tijelo vrlo brzo postiže stacionarnu brzinu, dok za veliki $\tau$ (npr. kada je tijelo teško, a otpor malen) tijelo dugo ubrzava prije nego što postigne stacionarnu brzinu.

Postojanje ove dvije faze važno je za razumijevanje Aristotelove fizike, iako ga zanemaruje većina Aristotelovih kritičara. Za metalnu kuglu u vodi trajanje prve faze je ispod naše sposobnosti razlučivanja pa opažamo samo dugu fazu. U zraku je vrijeme potrebno za ukupni pad metalne kugle usporedivo s vremenom prve faze pa kugla nema vremena doseći stacionarnu brzinu. To podrazumijeva velike brzine koje je opet teško razlučiti izravnim opažanjima (osim ako vam se posreći pa, kao Galileo, pogodite da kosina koja usporava pad neće utjecati na njegove kvalitativne značajke).

U većini slučajeva koji nas zanimaju uzgon $V\rho$ je zanemariv u odnosu na težinu $T = mg$ pa brzina pada u stacionarnom režimu postaje

$v \approx \sqrt{\frac{1}{C}\frac{mg}{\rho}} = c \sqrt{\frac{T}{\rho}}$

gdje je $c = \frac{1}{\sqrt{C}}$ konstanta koja ovisi o obliku i veličini tijela. To pokazuje da teže tijelo pada brže od lakšeg tijela istog oblika i veličine, te da jednaka tijela padaju brže u rjeđem mediju. Pri jednakoj težini i gustoći, sve ovisi o učinku veličine i oblika tijela (koji je sadržan u $c$). Sve to tvrdi i Aristotel.

Promotrimo detaljnije kako kugle od platine (gustoće 21450 kg/m³) i olova (gustoće 11340 kg/m³) padaju u zraku i vodi.

U zraku se stacionarna brzina postiže brzo, za oko jednu sekundu, na putu od više desetaka metara.

$r$ = 1cm	$v_{st}$(m/s)	$t_{95\%}$ (s)	$s_{95\%}$​ (m)
Platina	≈ 51	≈ 0.93	≈ 47
Olovo	≈ 37	≈ 0.96	≈ 36

$r\$= 5cm	$v_{st}$(m/s)	$t_{95\%}$ (s)	$s_{95\%}$​ (m)
Platina	≈ 115	≈ 0.84	≈ 97
Olovo	≈ 83	≈ 0.87	≈ 72

U vodi, se stacionarna brzina postiže u djeliću sekunde, na putu od mjerenom centimetrima, pa je teško uopće primijetiti prvu prijelaznu fazu gibanja.

$r = 1cm$	$v_{st}$(m/s)	$t_{95\%}$ (s)	$s_{95\%}$​ (m)
Platina	≈ 1.47	≈ 0.117	≈ 0.17
Olovo	≈ 0.96	≈ 0.120	≈ 0.12

$r = 5cm$	$v_{st}$(m/s)	$t_{95\%}$ (s)	$s_{95\%}$​ (m)
Platina	≈ 3.27	≈ 0.057	≈ 0.19
Olovo	≈ 2.14	≈ 0.063	≈ 0.13

Zanimljivo je da je ispiranje zlata u rijekama omogućeno činjenicom da zlato u vodi ima bitno veću stacionarnu brzinu od pijeska. Pijesak se uglavnom sastoji od kvarca gustoće od 2.65 g/cm³. Zlato je s 19.3 g/cm³ skoro 8 puta gušće. Budući da lakši pijesak ima vrlo malu stacionarnu brzinu, sporo se taloži, pa ga lagano strujanje vode preko ruba tanjura za ispiranje s lakoćom odnosi. Zlato, zbog svoje velike stacionarne brzine, brzo se taloži na dno tanjura pa ga strujanje vode ne odnosi.

Dakle, Aristotel savršeno ispravno procjenjuje da brzina raste s težinom tijela i pada s gustoćom medija, kao i da dodatno ovisi o obliku i veličini tijela. Ono što Aristotel nema je kvadratni korijen ( “njegova” je formula $v = c \frac{T}{\rho}$) što je očekivano s obzirom na primitivne matematičke alate kojima se koristio. No, njegove činjenične tvrdnje sve su točne pa je teško tvrditi da nisu utemeljene na dobrom opažanju.

Zanimljivo je da Aristotelova formula vrijedi za sitne čestice, jer je za njih otpor fluida linearan. Jednadžba njihovog gibanja je

$m\frac{dv}{dt}=-(mg-V\rho )-C\rho v$

Njeno rješenje je

$v\left(t\right)=\frac{mg-V\rho }{C\rho }(1-e^{-\frac{C\rho }{m}t})v_{st}=\frac{mg-V\rho }{C\rho }\approx \frac{mg}{C\rho }$

Dakle, sitne čestice padaju onako kako tvrdi Aristotel.

Kriterij linearnosti otpora daje Reynoldsov broj $Re = \frac{\rho vL}{\mu}.\$Ako je on bitno manji od 1 otpor je linearan, a ako je on bitno veći od 1 otpor je kvadratni. Na primjer:

	veličina	st. brzina	Re	otpor
bakterija	10−6 m	10−5 m/s	10−5	linearni
zrno pijeska	10−4 m	10−2 m/s	1	prijelazni
kugla	1 m	5 m/s	>106	kvadratni

Razmotrimo još malo prvu fazu. I u ovoj fazi brzina je veća za teže tijelo, suprotno onome što tvrde mnogi udžbenici. Ako tijelo nema vremena postići svoju stacionarnu brzinu, tj. ako je $t \ll \frac{m}{\rho}$, tada brzinu

$v(t) = \sqrt{\frac{mg – V\rho}{C\rho}} \tanh\left( \sqrt{\frac{mg – V\rho}{C\rho m^2}} t \right)$

možemo procijeniti Taylorovim razvojem. Za male $t$ dobit ćemo

$v(t) = \left(g – \frac{V\rho}{m}\right)t$

To pokazuje da teži objekti padaju brže, točno kako tvrdi Aristotel, čak i u aproksimaciji u kojoj zanemarujemo trenje sa zrakom! Definitivno nije istina da objekti različite težine padaju istom brzinom, u bilo kojem mediju. Sve u svemu, Aristotelova zemaljska fizika savršeno se podudara s Newtonovom.

Razmotrimo sada nasilna gibanje tijela na Zemlji. Za njih je, po definiciji, $\vec{F}_n \neq \vec{0}$. Zanemarimo, radi jednostavnosti, član težine i uzgona. Newtonova jednadžba tada je

$m\vec{a} = -C\rho v\vec{v} + \vec{F}_n$

Ako tijelo (koje je početno u mirovanju) neko vrijeme podvrgnemo sili $F_n$, ono će se ubrzati. Ako uzročnik prestaje djelovati, Newtonova jednadžba gibanja postaje

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{C\rho}{m} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2$

Njeno rješenje za brzinu je

$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{m}{C\rho} \frac{1}{t}$

Dakle brzina teži nuli kako vrijeme $t$ raste. To znači da svako nasilno gibanje završava u konačnom vremenu, kao što tvrdi Aristotel (mada ne i odmah, u čemu on griješi).

Aristotelova detaljna opažanja koja su (razumno je pretpostaviti) dovela do njegove fizike, odnose se uglavnom na stacionarni režim padanja, gdje je opažanje lakše. Ta opažanja nužno zanemaruju početnu fazu koja je u vodi prekratka, a za teške objekte u zraku prebrza. Galileo je tu poteškoću preciznog opažanja u zraku riješio genijalnim trikom kose ravnine. Za ovaj režim, već je u 6. stoljeću Filopon istaknuo da brzina pada nije proporcionalna težini: olovna kugla ne udara u tlo dvostruko prije nego kugle dvostruko manje težine. Sila uzgona i otpor medija nemaju vremena postati učinkoviti u tim kratkim padovima. Međutim, dvije teške kugle istog oblika i različite težine padaju različitim brzinama bacimo li ih s dovoljne visine, npr. iz zrakoplova, što potvrđuje Aristotelovu teoriju, a ne Galileovu.

Prijeđimo sada na fiziku neba. Ovdje je riječ o nebeskim tijelima koja nisu uronjena u fluid (jer je gustoća etera 0), koja su udaljena od Zemlje i čije je prividno gibanje sporo. Dakle, možemo izostaviti uzgon i otpor fluida. Budući da su nebeska tijela daleko od Zemlje, ne možemo koristiti aproksimaciju $-mg r_0$. Za prirodno gibanje, bez nametnutih sila, preostaje nam Newtonova jednadžba

$m\vec{a} = -G \frac{mM}{r^2} \vec{r}_0$

Rješenja su Keplerove putanje koje dobro opisuju relativna gibanja sustava Zemlja-Sunce i Mjesec-Zemlja. Uzmemo li u obzir i gibanje Zemlje, u relevantnoj aproksimaciji Newtonove fizike, sa Zemlje vidljiva gibanja zvijezda, Sunca i Mjeseca dana su prividnom rotacijom neba (zbog Zemljine rotacije), prividnim gibanjem Sunca (zbog Zemljine rotacije i revolucije), te Keplerovom putanjom Mjeseca oko Zemlje. Sva su ta gibanja vrlo dobro aproksimirana kružnim gibanjem oko središta Zemlje, što je u skladu s Aristotelovim tvrdnjama. Dakle, relevantne aproksimacije Newtonove fizike razlikuju dva režima u kojima vrijede različiti zakoni gibanja. To su kružna gibanja na nebu i okomita na Zemlji, u skladu s Aristotelovom fizikom i astronomijom.

Prokomentirat ćemo još i donekle zbunjujuću formulu Newtonove fizike $v≈c√(T/ρ )$, koja, kao i kod Aristotelovog $v≈cT/ρ$, implicira beskonačnu brzinu pri padu u vakuumu. Tu naprosto treba uzeti u obzir da se radi o aproksimaciji. Formulu smo izveli uz pretpostavku da je gravitacijska sila konstantna, ali u stvarnosti ona to nije. Tijelo koje pada u (hipotetskom) vakuumu ne ubrzava se zauvijek nego samo do trenutku udara u masu koja uzrokuje privlačenje. To je u modernoj fizici očekivani singularitet u beskonačnosti. Ona se pojavljuju i u općoj relativnosti pod nazivom “singularitet” i u kvantnoj teoriji polja pod nazivom “ultraljubičasta divergencija”. Aristotelovo zaključivanje o „beskonačnoj brzini u vakuumu“ zapravo je ispravno unutar te aproksimacije (kao što je ispravno reći da opća relativnost proizvodi singularitete, a kvantna teorija polja ultraljubičaste divergencije), ali nije fizički ispravno jer ekstrapolira izvan domene valjanosti njegove teorije.

Sve u svemu, Aristotelova fizika može se, nakon prevođenja u jezik klasične Newtonove fizike, vidjeti kao netrivijalna i ispravna empirijska aproksimacija stvarnog fizičkog gibanja tijela u ograničenoj domeni za koju je teorija i stvorena.

5. Stvarni problemi Aristotelove fizike

Naravno, Aristotelova fizika daleko je od savršene. Prema njoj, tijelo se kreće prema svom prirodnom mjestu ovisno o svom sastavu. Drvo pluta zato što je njegovo prirodno mjesto niže od zraka i više od vode. Kad bi ova teorija bila ispravna, metalni brodovi ne bi plutali. Ali oni plutaju. Tu nešto nije u redu i to je objasnio Arhimed: ono što određuje hoće li tijelo plutati u vodi nije njegov sastav, već omjer njegove ukupne težine i njegovog (uronjenog) volumena. Volumen $V$ u jednadžbi $m\vec{a} = (V(\rho – \rho_t)) \vec{r}_0$ nije volumen tijela koje pluta, nego volumen vode koju to tijelo istiskuje. Arhimedovo otkriće imalo je velike tehnološke i ekonomske posljedice. Čim je pravi razlog plutanja shvaćen, trupovi brodova prekriveni su zaštitnim metalnim slojem što je smanjilo potrebu za redovitim čišćenjem. Veličina brodova se utrostručila što je potaknulo trgovinu i ekonomski razvoj.

Već smo spomenuli da Aristotelove premise impliciraju da učinak vanjskog uzročnika prestaje kada on prestane djelovati. To Aristotela prisiljava na složeno i pogrešno objašnjenje zašto se kamen nastavlja gibati čak i nakon što je napustio ruku koja ga je bacila. Ono se temelji na učinku okolnog fluida i potpuno je neuvjerljivo.

Naravno, Aristotel uviđa da nasilni vanjski uzroci ubrzavaju tijela na koja djeluju, ali mu nedostaje matematika koja bi opisala ta ubrzanja (Galileo je eksperimentima s kosom ravninom, ukazao na središnju važnost ubrzanja, otvarajući put Newtonovom zakonu $\vec{F} = m\vec{a}$). Iz moderne perspektive, to je glavno ograničenje aristotelovske fizike. On se u svojoj fizici gotovo uopće ne koristi matematikom; usp. [Š 2].

6. Zaključak

Aristotelova je fizika primarno utemeljena na opažanjima, poput njegove biologije. Na primjer, Platon u Fedonu iznosi ideju sferne Zemlje, ali je ne može dokazati. Aristotel to uspješno dokazuje opažanjem pomrčina Mjeseca – sjena koju Zemlja projicira na površinu Mjeseca je uvijek kružna, što je moguće samo ako je Zemlja sferna (razni oblici imaju kružnu projekcije, ali samo ih sfera ima u svim smjerovima). Aristotelovoj fizici ne nedostaju empirijska istraživanja; njoj nedostaje eksperiment. Tek od novoga vijeka počinje izravno ispitivanja prirode pomoću dizajniranog eksperimenta, a ne samo empirijskog opažanja.

Uočite da nije intuitivno misliti da je Zemlja sferna i da je nama dole ono što je našim antipodima gore. Aristotel tu ideju mora dokazivati i uspješno je dokazuje. Zapravo, Aristotelova je fizika puna takvih neintuitivnih ideja. Ideja da se velika raznolikost svijeta može objasniti pomoću samo četiri elementa. Ideja da prirodno gibanje prestaje kada tijelo dosegne svoje prirodno mjesto. Ideja o razlici između prirodnog i nasilnog gibanja (koja je preživjela u Newtonovoj fizici kao ničim podržavano jednoliko gibanje, koje i danas mnogi teško prihvaćaju). Uostalom, u Aristotelovo vrijeme postoje konkurentne fizikalne teorije, poput Demokritovog atomizma, Platonove teorije da su elementi izgrađeni od pravilnih poliedara ili Empedoklovih sila spajanja i razdvajanja, a nitko od antičkih pisaca ne tvrdi da je Aristotelova fizika intuitivnija od tih teorija. Dapače, Aristotel kritizira te alternative, koristeći se vrlo neintuitivnim argumentima. Aristotelova fizika je sigurno intuitivnija od Galileove i Newtonove, ali je daleko od zdravo razumske „folk“ fizike, s kojom se katkada identificira; usp. [Š2].

Aristotelova fizika često se prikazuje kao dogma koja je usporila razvoj znanosti. No, znanstvenici novih generacija nisu nimalo oklijevali u modificiranju i ignoriranju Aristotelove fizike. Arhimedova teorija plutajućih tijela odbacuje Aristotelovu fiziku. Hiparh objašnjava razlike u vremenskim rasponima između ekvinocija i solsticija pretpostavljajući Sunčevu putanju čiji centar nije u središtu Zemlje. Ptolomej poboljšava Hiparhov sustav pretpostavljajući da se nebeska tijela ne kreću konstantnom (kutnom) brzinom, što je u također u suprotnosti s Aristotelovom fizikom. U srednjem vijeku Aristotelova je fizika modificirana više puta, ali tek su Galileo, Kepler i Newton došli do bolje teorije. Ukratko, Aristotelovu fiziku nije živom održavala dogma, koliko nedostatak bolje teorije (uostalom ni Newtonova fizika nije preživjela tri stoljeća zato što je bila dogma, već zato što nije nađeno ništa bolje).

U konačno ipak otkrivenoj i boljoj Newtonovoj fizici, može se dokazati da je Aristotelova fizika ispravna u svojoj domeni. To čuva kontinuitet fizikalne znanosti i u tom prelazu koji se često i pogrešno drži diskontinuitetom.

Možemo zaključiti Rovellijevim svakom razumljivim riječima [R]:

Loš glas Aristotelove fizike je nezaslužen i proizvod je vrlo raširenog nerazumijevanja. Razmislite na trenutak, vjerujete li doista da tijela različite težine padaju istom brzinom? Zašto ne pokušate? Uzmite novčić i komad papira i pustite ih da padnu. Padaju li istom brzinom? Aristotel nikada nije tvrdio da tijela padaju različitom brzinom “ako maknemo zrak”. Zanimala ga je brzina stvarnih tijela koja padaju u našem stvarnom svijetu, u kojem su prisutni ili zrak ili voda. Ironično je posvuda čitati “Zašto Aristotel nije napravio stvarni eksperiment?”. Uzvratio bih: ” Zašto oni koji to pišu sami ne naprave stvarni eksperiment?”. Otkrili bi da je Aristotel u pravu.

7. Dodatak – Što je dokazao Galileo

U vakuumu se događa potpuni fizikalni preokret. Stacionarna brzina više ne postoji, a svi objekti padaju potpuno jednakim ubrzanjem, bez obzira na, težinu, veličinu i oblik. Najpoznatiji eksperiment izveo je David Scott na Mjesecu 1971. Tijekom misije Apollo 15 on je istovremeno ispustio čekić i pero i oba su predmeta pala na tlo u istu stotinku sekunde.

No to je prvi teoretski predvidio Galileo svojim slavnim misaonim eksperimentom.

Razmotrimo topovsku kuglu $H$ i mušketnu kuglu $L$ te složeni objekt $H + L$. Spoj $H + L,$ kao teži, mora padati brže od samog $H$. S druge strane, složeni objekt mora padati sporije, jer će lakši dio usporiti teži dio. No to je proturječno:

$v(H+L)>v\left(H\right)>v(H+L)$

Često se tvrdi da je time pobijena Aristotelova teorija i da je time dokazano

$v\left(H\right)=v\left(L\right)=v(H+L)$

No koju pretpostavku opovrgava to proturječje? Pojednostaviti ćemo Galileov argument tako da je jasno istaknemo tu pretpostavku. Dakle, pretpostavimo da svako tijelo u mediju ima svoju prirodnu brzinu $v$ koja ovisi samo o njegovoj težini. Polovice tog tijela tada imaju brzine $v’$ koje ovise samo o njihovim težinama. Ali polovice se kreću istom brzinom kao i cjelina, pa mora biti $v = v’.$ (Isto se može izvesti za svaki $m/n$ umjesto kao i za 1/2.) Dakle, ako brzine ovise samo o težinama tijela, onda sva tijela imaju istu brzinu.

Ali Aristotel jasno ističe da brzine ovise o veličini, obliku i težini. Ako nas zanima kako samo težina utječe na gibanje u mediju pitanje je:

Kako se u mediju kreću tijela iste veličine i oblika, ali različitih težina?

U oba misaona eksperimenta (Galileovo i našem pojednostavljenom) uspoređuju se gibanje tijela različitih težina, ali i različitih veličina i oblika. Zato ovi misaoni eksperimenti uopće ne odgovaraju na osnovno pitanje.

Oni bi mogli odgovoriti na osnovno pitanje, ako se radi o gibanju u vakuumu i ako pretpostavimo da odsutnost medija eliminira utjecaj veličine i oblika. Ako još pretpostavimo da je zrak dobra aproksimacija vakuuma, onda bi stvarni eksperiment u zraku mogao odgovoriti na naše pitanje. Ali, vidjeli smo, da je slobodni pad tijela u zraku vrlo brz i da ga je teško mjeriti. To Galileo rješava tako da umjesto slobodnog pada razmatra pad niz kosinu, koji je bitno sporiji za kosinu maloga nagiba.

Tim je eksperimentom Galileo ustanovio da je$\ s\sim t^{2}$. Budući da je Oresme već dva stoljeća ranije dokazao da je $s = \frac{1}{2}at^{2}\$ekvivalentno s$\ v = at,$ Galileo zaključuje da je slobodni pad jednoliko ubrzano gibanje.

No koristi li Galileo u svom eksperimentu na kosini kugle raznih masa kako bi zaključio da akceleracija ne ovisi o masi? Ne znamo! (Dugo se tvrdilo da ih je bacao s kosoga tornja u Pisi kako bi to dokazao direktno, bez kosine, ali to je opovrgnuto.)

Pretpostavimo ipak da je koristio kugle raznih masa i razmislimo što je mogao zaključiti na temelju tog eksperimenta.

Ključno je da Galileo zapravo nije mjerio klizanje po kosini bez trenja, nego je mjerio kotrljanje kugle bez proklizavanja. Pretpostavljao je da je ono kvalitativno jednako klizanju, koje je kvalitativno jednako slobodnom padu. No, je li to baš tako?

Ako pločica klizi po kosini bez trenja, na nju djeluje sila teža $mg\$okomito prema dolje, ali i normalna sila $N,$ okomito na podlogu. Jednadžba gibanja je:

$ma = mg\ sin\theta\ \ \Longleftrightarrow \ \ v = g\ sin\theta\ t\ \Longleftrightarrow \ \ s = \frac{1}{2} g\ sin\theta\ t^{2}\$

Je li Galileo razumio faktor $sin\theta$ čisto kinetički? Možda.

S druge strane, kotrljanje je nemoguće razumjeti kinetički, jer dio potencijalne energije odlazi na rotaciju pa za punu kuglu zbog toga vrijedi:

$a = \frac{5}{7} g\ sin\theta$

Dakle (sretno po Galilea), točno je da akceleracija $a$ ne ovisi o masi. Ali nije točno da ovisi samo o obliku tijela. Ona ovisi o njegovom momentu tromosti.

Moment tromosti kugle radijusa $r\$oko njene osi $o$ nalazimo na sljedeći način.

$dI_{x} = dr\rho\iint_{}^{}{(y^{2}} + z^{2})dS\ \ \ \ dI_{y} = dr\rho\iint_{}^{}{(z^{2}} + x^{2})dS\ \ \ \ dI_{z} = dr\rho\iint_{}^{}{(x^{2}} + y^{2})dS$

$3dI_{o} = dI_{x} + dI_{y} + dI_{z} = 2dr\rho\iint_{}^{}r^{2}dS = 2r^{2}\rho 4\pi r^{2}dr = \rho 8\pi r^{4}dr$

Za šuplju kuglu imamo:

$m = \rho 4\pi r^{2}dr\ \ \ \Rightarrow \ \ \ I_{o} = \frac{2}{3}r^{2}m$

Za punu kuglu imamo:

$m = \frac{4\pi}{3}r^{3}\rho\ \ \ \Rightarrow \ \ \ I_{o} = \frac{8\pi}{15}{\rho r}^{5} = \frac{4\pi}{3}r^{3}\rho\frac{2}{5}r^{2} = \frac{2}{5}mr^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

Jednadžba translacije niz kosinu je

$mgsin\theta – F_{tr} = ma$

Jednadžba rotacije oko centra mase je

$F_{tr} \cdot r = I\alpha$

Uvjet da nema proklizavanja je

$a = \alpha r\ \ \ ( \leftarrow \ \omega = vr)$

Iz rotacijske jednadžbe imamo

$F_{tr} = I\alpha/r = Ia/r^{2} = kmr^{2}a/ r^{2} = kma$

Uvrštavanjem u jednadžbu translacije konačno nalazimo

$mgsin\theta – kma = ma$ $mgsin\theta = ma(1 + k)$ $a = \frac{gsin\theta}{1 + k}$

Uvrstimo li $k = \frac{2}{5}$ za punu kuglu i $k = \frac{2}{5}$ za šuplju kuglu imamo sljedeće vrijednosti.

Kotrljanje pune kugle bez klizanja – $a = \frac{5}{7}g\ sin\theta$

Kotrljanje šuplje kugle bez klizanja – $a = \frac{3}{5}g\ sin\theta$

Da je Galileo eksperimentirao s punim i šupljim kuglama, morao bi zaključiti da brzina, u tijelima istoga oblika i mase, ovisi o rasporedu mase. Dakle, ako je kotrljanje po kosini kvalitativno isto slobodnom padu, to bi moralo vrijediti i za slobodni pad.

No, ako je Galileo uopće eksperimentirao s raznim kuglama, vjerojatno nije eksperimentirao s punim i šupljim kuglama jednakog volumena i mase, koje nije tako lako proizvesti.

Zato je njegov zaključak o slobodnom padu bio točan, iako bi njegovo obrazloženje pomoću kosine bilo netočno.

Literatura

• [R] Rovelli, C. (2015) Aristotle’s Physics: A Physicist’s Look. Journal of the American Philosophical Association 1(1), 23–40.
• [Š1] Šikić, Z. (2026) Wigovska povijest i numerički sustavi, Poučak 105, 46-70.
• [Š2] Šikić, Z. (2027) From Aristotle through Newton to Noether and Einstein, Publications de l’Institut Mathematique (prihvaćeno).